b) Etudier la convergence de la série de Fourier de f.
c) En déduire les sommes de série suivantes :
~ sin an sin bn
L.,
2
,
n= I
n
La résolution des exercices 7.4.4 à 7.4.7 utilise la rela+ oo l
rr2
tian L n 2 = 6
vue p. 148.
n= I
+ oo
1
7.4.4 Calculer L
2 .
n= I (n(n + 1))
7.4.5 Calculer fo
1
xE (~) dx.
lo
i ln(l +x)
+ oo (-l)n-1
7.4.6 a) Montrer :
dx = L 2
0
x
n=I
n
b) En déduire les valeurs des intégrales suivantes :
lo
i ln x
1
1 lnx
- - dx
- - dx
o l+ x '
o 1-x '
la
I ln X
1 I 1 1 + X
- - dx
- ln - - dx
0 ] - x2
'
0 X
l - X
,
li
+ oo ln x
- -
2
dx,
1
1-x
la
+ oo ln x
- -
2
dx ,
O
1-x
7.4. 7 Montrer :
- ln - - dx
li
+ oo l
X + ]
.
1
X
X - 1
'
- ln - - dx.
1
+
00
l
11+x 1
0
X
1-X
(Utiliser les exercices 3.1.5 et 7.4.6).
7.4.8 Soit f : [O ; rr] ----+ IR, de classe C
1
, telle que :
f(O) = f (n) = 0 et [ ' f '
2 = n.
Montrer qu'il existe une suite réelle (a,,) 11 ~ 1 telle que:
+oo a
V t E [O; rr], f(t) = L ~sin nt et
n= I n
+oo
L a;,=2.
n= I
7.4.9 Soit J: IR----+ IR
1 ~ 2~ -E(2~ ) - ~
Calculer, pour tout (p,q) de(N*) 2 , fo
2
" f(pt)f(qt) dt.
7.4.10 Soient a E IR - :Z, fa : IR ----+ IR 2rr-périodique
telle que : Vt E [-rr; rr], fa (t) = cos at.
a) Vérifier fa E CM2:n: et calculer les coefficients de
Fourier (trigonométriques) de fa.
7.4 ·Exemples
b) Etudier la convergence de la série de Fourier de f a·
c) En déduire:
+ oo
2x
1
a) 'Vx E IR - n :Z, L
2 2
2
= - - cotanx.
n= 1 nn - x
x
+oo 2(-1) 11 + IX
]
]
/3) 'Vx E IR - n :Z, L
2 2
2 = - . - - - .
n= I rr n -x
srnx
x
7.4.11 Soient r E] - l; 1 [,
fr,gr : IR ----+ IR définies par: 'Vt E IR,
a) Montrer:
1
fr(t) = 1 -12~ ~o:~s~ r2
r sin t
gr(t) = - - - - - -
1 - 2r cos t + r2
(
+oo
+ oo
)
'Vt E IR , f ,.(t) = Lr"cosnt, g,.(t) = Lr" sin nt .
n=O
n=O
b) En déduire les coefficients de Fourier (trigonométriques) de fr et g,..
c) Calculer, pour tout n de N, les valeurs de :
{2:n:
l n(r) = Jo f ,. (t) cos nt dt
r2"
ln(r)= Jo g,.(t)sinntdt
d) On note:
F,. : IR ----+ IR
, Gr : IR ----+ IR
l ~ -
2
1 ln ( l -2r cosl+r 2 )
/ ~Arctan r sin/
1- r COS/
Calculer, pour tout n de N, les valeurs de :
{ 2"
A,, (r ) = Jo F,(t) cos nt dt ,
r2"
B,,(r) = Jo G,.(t) sin nt dt .
7.4.12 Formule des compléments
rr
Etablir 'Vx E]O; l[, r(x )f(l - x) = -.- -.
Sin Jr X
(Utiliser la formule de Gauss, exercice 5.1.35 p. 306 :
n'nx
r(x) = lim _ _ · - -
1100
Il
TI ex+ k )
k=O
et la relation, déduite de l'exercice 7.4.10 :
sinrrx
n" ( ( x ) 2)
- - = lim
l - -
.)
nx
1100 k= l
k
1
1
1
7.4.13 a) Montrer:
ln r(x) dx = - ln(2rr).
0
2
(Utiliser la formule des compléments, exercice 7.4. 12).
427
c) En déduire les sommes de série suivantes :
~ sin an sin bn
L.,
2
,
n= I
n
La résolution des exercices 7.4.4 à 7.4.7 utilise la rela+ oo l
rr2
tian L n 2 = 6
vue p. 148.
n= I
+ oo
1
7.4.4 Calculer L
2 .
n= I (n(n + 1))
7.4.5 Calculer fo
1
xE (~) dx.
lo
i ln(l +x)
+ oo (-l)n-1
7.4.6 a) Montrer :
dx = L 2
0
x
n=I
n
b) En déduire les valeurs des intégrales suivantes :
lo
i ln x
1
1 lnx
- - dx
- - dx
o l+ x '
o 1-x '
la
I ln X
1 I 1 1 + X
- - dx
- ln - - dx
0 ] - x2
'
0 X
l - X
,
li
+ oo ln x
- -
2
dx,
1
1-x
la
+ oo ln x
- -
2
dx ,
O
1-x
7.4. 7 Montrer :
- ln - - dx
li
+ oo l
X + ]
.
1
X
X - 1
'
- ln - - dx.
1
+
00
l
11+x 1
0
X
1-X
(Utiliser les exercices 3.1.5 et 7.4.6).
7.4.8 Soit f : [O ; rr] ----+ IR, de classe C
1
, telle que :
f(O) = f (n) = 0 et [ ' f '
2 = n.
Montrer qu'il existe une suite réelle (a,,) 11 ~ 1 telle que:
+oo a
V t E [O; rr], f(t) = L ~sin nt et
n= I n
+oo
L a;,=2.
n= I
7.4.9 Soit J: IR----+ IR
1 ~ 2~ -E(2~ ) - ~
Calculer, pour tout (p,q) de(N*) 2 , fo
2
" f(pt)f(qt) dt.
7.4.10 Soient a E IR - :Z, fa : IR ----+ IR 2rr-périodique
telle que : Vt E [-rr; rr], fa (t) = cos at.
a) Vérifier fa E CM2:n: et calculer les coefficients de
Fourier (trigonométriques) de fa.
7.4 ·Exemples
b) Etudier la convergence de la série de Fourier de f a·
c) En déduire:
+ oo
2x
1
a) 'Vx E IR - n :Z, L
2 2
2
= - - cotanx.
n= 1 nn - x
x
+oo 2(-1) 11 + IX
]
]
/3) 'Vx E IR - n :Z, L
2 2
2 = - . - - - .
n= I rr n -x
srnx
x
7.4.11 Soient r E] - l; 1 [,
fr,gr : IR ----+ IR définies par: 'Vt E IR,
a) Montrer:
1
fr(t) = 1 -12~ ~o:~s~ r2
r sin t
gr(t) = - - - - - -
1 - 2r cos t + r2
(
+oo
+ oo
)
'Vt E IR , f ,.(t) = Lr"cosnt, g,.(t) = Lr" sin nt .
n=O
n=O
b) En déduire les coefficients de Fourier (trigonométriques) de fr et g,..
c) Calculer, pour tout n de N, les valeurs de :
{2:n:
l n(r) = Jo f ,. (t) cos nt dt
r2"
ln(r)= Jo g,.(t)sinntdt
d) On note:
F,. : IR ----+ IR
, Gr : IR ----+ IR
l ~ -
2
1 ln ( l -2r cosl+r 2 )
/ ~Arctan r sin/
1- r COS/
Calculer, pour tout n de N, les valeurs de :
{ 2"
A,, (r ) = Jo F,(t) cos nt dt ,
r2"
B,,(r) = Jo G,.(t) sin nt dt .
7.4.12 Formule des compléments
rr
Etablir 'Vx E]O; l[, r(x )f(l - x) = -.- -.
Sin Jr X
(Utiliser la formule de Gauss, exercice 5.1.35 p. 306 :
n'nx
r(x) = lim _ _ · - -
1100
Il
TI ex+ k )
k=O
et la relation, déduite de l'exercice 7.4.10 :
sinrrx
n" ( ( x ) 2)
- - = lim
l - -
.)
nx
1100 k= l
k
1
1
1
7.4.13 a) Montrer:
ln r(x) dx = - ln(2rr).
0
2
(Utiliser la formule des compléments, exercice 7.4. 12).
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