n
4 +oo
1
En particulier, en remplaçant t par 0: 0 = f (0) = 2 - ; ~ ( 2
p + l ) 2 ,
+ oo
1
7r 2
d'où ' °"' ---- =
8
(résultat déjà obtenu dans l'exemple 1).
~ (2p + 1) 2
7.4 ·Exemples
Remarquons que, puisque : Vp EN, Sup 1
4
2
cos(2p + l)r l =
4
2
celR n (2p + 1)
n(2p + 1)
1
et que la série numérique L
2
converge, la série de Fourier de f converge norp~O (2p + 1)
malement (donc uniformément) sur IR.
On peut aussi utiliser le théorème de convergence normale, 7.3.1 Th. p. 420.
• Puisque f E D2rr , on peut appliquer la formule de Parseval (7 .2.3, Cor. l , p. 417) ; on
conclut que la série L (
4
2
)
2
converge (ce qu'on savait simplement par ailleurs)
p~O n(2p + l)
et:
n 2
l +oo (
4
) 2
l i 2 l lal r 2 7r2
- + - 2:
= -
u cr) ) dt= -
t dt= -
4
2 p=O n(2p + 1)2
2n [2rr ]
7r Q
3 '
d'où:
+oo
1
n2 (n2
n2)
n4
/ ~ (2p + 1)4 = 8 3 - 4 = 96 .
Comme dans l'exemple 1 p. 424, on déduit:
+oo l
+oo
l
+oo
l
1 +oo l
7r4
2: n4 = 2: c 2 p)4 + 2: < 2 P + n4 = 2 4 2: p4 + 96 •
n= I
p= I
p=O
p= I
et finalement :
Les méthodes à retenir
Séries de Fourier
• L'exercice-type sur les séries de Fourier est illustré dans le cours (exemples 1 et 2 du § 7.4) et par les exercices
7.4.1 à 7.4.3.
Une fonction f étant donnée, on commence par vérifier que f est périodique et continue par morceaux ; si f est à
valeurs réelles, on trace l' allure de la courbe représentative de f, de manière à bien percevoir si f est continue ou
seulement continue par morceaux. Ensuite, on calcule les coefficients de Fourier (trigonométriques si f est à
valeurs réelles, exponentiels si/ est à valeurs complexes). À cet effet, on sera souvent amené à utiliser une linéarisation ou une intégration par parties.
Pour étudier la convergence de la série de Fourier de/ et calculer sa somme, appliquer Je théorème de Dirichlet
ou le théorème de convergence normale, suivant l'exemple.
On déduit ensuite des sommes de séries numériques en remplacant, dans la formule (pour f à valeurs réelles par
exemple):
+oo
~
ao "
f(t) = 2 + L.,,(an cos nwt + bn sin nwt),
n=I
425
4 +oo
1
En particulier, en remplaçant t par 0: 0 = f (0) = 2 - ; ~ ( 2
p + l ) 2 ,
+ oo
1
7r 2
d'où ' °"' ---- =
8
(résultat déjà obtenu dans l'exemple 1).
~ (2p + 1) 2
7.4 ·Exemples
Remarquons que, puisque : Vp EN, Sup 1
4
2
cos(2p + l)r l =
4
2
celR n (2p + 1)
n(2p + 1)
1
et que la série numérique L
2
converge, la série de Fourier de f converge norp~O (2p + 1)
malement (donc uniformément) sur IR.
On peut aussi utiliser le théorème de convergence normale, 7.3.1 Th. p. 420.
• Puisque f E D2rr , on peut appliquer la formule de Parseval (7 .2.3, Cor. l , p. 417) ; on
conclut que la série L (
4
2
)
2
converge (ce qu'on savait simplement par ailleurs)
p~O n(2p + l)
et:
n 2
l +oo (
4
) 2
l i 2 l lal r 2 7r2
- + - 2:
= -
u cr) ) dt= -
t dt= -
4
2 p=O n(2p + 1)2
2n [2rr ]
7r Q
3 '
d'où:
+oo
1
n2 (n2
n2)
n4
/ ~ (2p + 1)4 = 8 3 - 4 = 96 .
Comme dans l'exemple 1 p. 424, on déduit:
+oo l
+oo
l
+oo
l
1 +oo l
7r4
2: n4 = 2: c 2 p)4 + 2: < 2 P + n4 = 2 4 2: p4 + 96 •
n= I
p= I
p=O
p= I
et finalement :
Les méthodes à retenir
Séries de Fourier
• L'exercice-type sur les séries de Fourier est illustré dans le cours (exemples 1 et 2 du § 7.4) et par les exercices
7.4.1 à 7.4.3.
Une fonction f étant donnée, on commence par vérifier que f est périodique et continue par morceaux ; si f est à
valeurs réelles, on trace l' allure de la courbe représentative de f, de manière à bien percevoir si f est continue ou
seulement continue par morceaux. Ensuite, on calcule les coefficients de Fourier (trigonométriques si f est à
valeurs réelles, exponentiels si/ est à valeurs complexes). À cet effet, on sera souvent amené à utiliser une linéarisation ou une intégration par parties.
Pour étudier la convergence de la série de Fourier de/ et calculer sa somme, appliquer Je théorème de Dirichlet
ou le théorème de convergence normale, suivant l'exemple.
On déduit ensuite des sommes de séries numériques en remplacant, dans la formule (pour f à valeurs réelles par
exemple):
+oo
~
ao "
f(t) = 2 + L.,,(an cos nwt + bn sin nwt),
n=I
425