Chapitre 7 • Séries de Fourier
La considération de g permet de se
ramener à une application continue et
T-périodique (g E Cr), de façon à
pouvoir appliquer le second théorème
de Weierstrass.
f/J Utilisation du théorème de Pythagore.
-0
0
c
::J
0
(V)
.--l
0
N
@
416
La formule de Parseval est valable, plus
généralement pour f E CM r.
cf. Remarque ci-dessous.
Formule de Parseval, cas général (cas
complexe).
y
-
f
-------- g
0
T
D'après le second théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes trigonométriques (éléments
E
de P) convergeant uniformément vers g sur IR. Il existe donc P E P tel que 11 P - g l loo ::;;: 2.
Comme : ll P - gll~ = 2_ { IP - gl 2 ::;;: ll P - gl l~,
T } [T]
E
on a llP - gll2::;;: 2' et donc: Il! - Pll2::;;: Il! - gll2 + llg - Pll2::;;: t:.
Ceci montre que P est dense dans (Dr , ( · I ·)) .
2) Convergence de { S p (f)) 2 0 vers f dans {DT, ( · I ·))
p ,,Soit t: > O. D'après 1), il existe P EP tel que Il! - Pll 2 ::;;: t:.
Puisque P = LJ Pp, il existe NE N tel que P E PN.
pEN
Soitp EN tel quep ~ N.
Puisque Sµ(f) est la projection orthogonale de f sur Pµ , on a:
En particulier, puisque P - Sµ(f) E Pp : ( P - Sµ(f) 1 f - Sµ(f)) = 0,
d'où:
Il!- Pli~ = Il (!- Sp(f))- (P - Sp(f))ll~ = Il! - Sp(f) ll
2 + llP - Sp(f)l l~
et donc: Il! - Sp(f)lll ~ t:.
Ceci montre: Sp(f)---+ f dans (Dr.C l·)).
poo
Formule de Parseval
Soitf E DT.
1) La série L {lcnl
2
+ lc-nl
2
) converge, et:
n ;;. I
~Il! - Sp(f)ll~,
•