l(IR) C lR signifiequelestà
valeurs réelles.
\JJ Formule de Parseval,cas réel.
On sait que (e 11 ) 11 ez est une famille
orthonormale pour (.1 .)
\!/J Ici, a11 et b,, sont réels.
i5
1 2 (&:,q est l'ensemble des suites,
§..;.- indexées par Z , de carré sommable.
0
(V)
......
0
~
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Résultat important, pour des exercices ou
des problèmes sur les séries de Fourier.
7 .2 ·Structure préhilbertienne
2) Sif (JR) c JR, la série z)a; + b~) converge, et:
n ;> I
a l
1 +oo
1 1
_Q_ + - z)a~ + b~ ) = -
(J(t) )
2 dt.
4
2 n = I
T [TJ
Preuve
1) D'après le théorème de Parseval, Sp (f) ~ f dans (Dr, (· 1-)) ; comme 11 · 11~ : VT --+ IR est
poo
1~ 1111 1~
continue, il s'ensuit : ll Sp(f) ll~ ~ 11/11 ~.
poo
Mais, pour tout p de N* :
et 1 1/1 1~ = 2._ r l/ (t) l
2 dt, d'où la conclusion voulue.
T JrTJ
2) Se déduit de 1 ), puisque (cf. 7. l.2 Prop. 2 p. 407) co = a~ et, pour tout n de N*:
•
Remarques:
1) Pour toute f de VT, d'après la formule de Parseval et puisque les termes envisagés sont
~ 0, la famille (lc11 l 2 ) 11 EZ est sommable, et :
+oo
On peut noter
L l c11 l
2 pour L lc11i2 .
11=-00
11EZ
Ainsi,pourtoutefdeVT, f = (c,, (f))
11
ez E /
2 (Z ,C) .
2) Soit f E CMT ; en appliquant le théorème de Parseval ou une formule de Parseval à .T et
en remarquant que, pour tout n, les c 11 , a 11 , b 11 de f sont les mêmes que ceux de .T ,on voit que
le théorème de Parseval ou une formule de Parseval sont applicables à/.
L'application Vr -----+ B(Z ,C) est injective.
]
f f---* Î - - - - - - -
Preuve
Puisque l'application : VT --+ Bs_z,q, où f : Z --+ C , est C -linéaire, il suffit de prouver
1~!
n~c,, (f)
Ker() = {0}.
Soitf E Ker(), c'est-à-dire! E V T telle que : 'Vn E Z, c 11 (f) =O.
D'après la formule de Parseval, on a alors 11 11 1~ = L lc,,1 2 = 0 , donc 11 / 11~ = O,f =O. •
nEZ
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