7.2.3
1
'") \ OnpeutdirequePpestlesevdeDr
\..:.) formé des polynômes trigonométriques
{cf. § 5.2.3, Définition p. 342) de degré
"' p.
-0
0
(V)
......
0
N
·;::
>- 0.
0
u
Utilisation du lemme fondamental sur
les séries à termes dans IR+, cf.§ 4.2.1.
On retrouve ici, comme conséquence,
que la suite (c,, (f)),,EZ est bornée.
On dit que (Sp(f))p-;;,o converge en
moyenne quadratique vers f
7.2 ·Structure préhilbertienne
Le théorème de Parseval
On note, pour tout p de N, Pp le sev de Vr engendré par (en) - " "'" "'"'
Soit f E 'Dr. On note Sp(f) la pème somme partielle de la série de Fourier de f:
fJ
Sp(f) = L c,,
Puisque (en)-""'""'" est orthonormale et que dim(Pp) = 2p + 1, (e11 )-p"'n"'" est une base
orthonormale de Pp. D'après le théorème de la projection orthogonale (cf. § l.6.5 Th.),
p
f admet une projection orthogonale sur Pp, et celle-ci est L (en 1 f)e 11 , c'est-à-dire Sp (f).
n=- p
On a ainsi montré la Proposition suivante.
r . l
....__~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--,
Pour tout p de N et toute f de 'DT, la projection orthogonale de f sur Pp est Sp(f),
p ème somme partielle de la série de Fourier de f
On a alors, cf. § 1.6.5 :
1
11! 11~ = ll S"(f) ll~ +Il! - S"(f) l l~
d(f,Pp) =Il! - Sp(.f) ll2·
En particulier, on obtient l'inégalité de Bessel :
p
Vp EN,
L lcn(/)1 2 ~ 11/11~.
n=- p
p
2
puisque llSp(/)11~ =
p
L lcn(/)1 2 .
L Cn(/)en
n=-p
2
n=-p
On a donc:
p
Vp EN, lco(/)1 2 + L (lcn(/)1
2 + lc-n(/)1 2 ) ~ 11/11~.
n=I
Ceci montre que la série L (lcn(/)1 2 + lc-n(/)1
2 ), à termes réels ~ 0, est convergente
n -;;, I
donc lc,,(f)l2 + lc_,,(f) l
2 ~ 0 , puis:
1100
c,, (.f) ~ 0 et c_,, (.f) ~ O.
noo
1100
L'mllul--Théor ème de Parseval
V/ E 'DT, Il/- Sp(/)112 ~O.
poo
__ )
Preuve
Notons P l'ensemble des polynômes trigonométriques (admettant T pour période), c'est-à-dire le sev de
Vr engendré par (en) 11 eZ·
1) Densité de P dans (VT, (- 1 ·))
s
Soient f E Vr, s > O. Il est clair qu'il existe g E Vr, continue, telle que 11! - gl 12 ~ 2
(modifier f
près de ses points de discontinuité).
415
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'") \ OnpeutdirequePpestlesevdeDr
\..:.) formé des polynômes trigonométriques
{cf. § 5.2.3, Définition p. 342) de degré
"' p.
-0
0
(V)
......
0
N
·;::
>- 0.
0
u
Utilisation du lemme fondamental sur
les séries à termes dans IR+, cf.§ 4.2.1.
On retrouve ici, comme conséquence,
que la suite (c,, (f)),,EZ est bornée.
On dit que (Sp(f))p-;;,o converge en
moyenne quadratique vers f
7.2 ·Structure préhilbertienne
Le théorème de Parseval
On note, pour tout p de N, Pp le sev de Vr engendré par (en) - " "'" "'"'
Soit f E 'Dr. On note Sp(f) la pème somme partielle de la série de Fourier de f:
fJ
Sp(f) = L c,,
Puisque (en)-""'""'" est orthonormale et que dim(Pp) = 2p + 1, (e11 )-p"'n"'" est une base
orthonormale de Pp. D'après le théorème de la projection orthogonale (cf. § l.6.5 Th.),
p
f admet une projection orthogonale sur Pp, et celle-ci est L (en 1 f)e 11 , c'est-à-dire Sp (f).
n=- p
On a ainsi montré la Proposition suivante.
r . l
....__~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--,
Pour tout p de N et toute f de 'DT, la projection orthogonale de f sur Pp est Sp(f),
p ème somme partielle de la série de Fourier de f
On a alors, cf. § 1.6.5 :
1
11! 11~ = ll S"(f) ll~ +Il! - S"(f) l l~
d(f,Pp) =Il! - Sp(.f) ll2·
En particulier, on obtient l'inégalité de Bessel :
p
Vp EN,
L lcn(/)1 2 ~ 11/11~.
n=- p
p
2
puisque llSp(/)11~ =
p
L lcn(/)1 2 .
L Cn(/)en
n=-p
2
n=-p
On a donc:
p
Vp EN, lco(/)1 2 + L (lcn(/)1
2 + lc-n(/)1 2 ) ~ 11/11~.
n=I
Ceci montre que la série L (lcn(/)1 2 + lc-n(/)1
2 ), à termes réels ~ 0, est convergente
n -;;, I
donc lc,,(f)l2 + lc_,,(f) l
2 ~ 0 , puis:
1100
c,, (.f) ~ 0 et c_,, (.f) ~ O.
noo
1100
L'mllul--Théor ème de Parseval
V/ E 'DT, Il/- Sp(/)112 ~O.
poo
__ )
Preuve
Notons P l'ensemble des polynômes trigonométriques (admettant T pour période), c'est-à-dire le sev de
Vr engendré par (en) 11 eZ·
1) Densité de P dans (VT, (- 1 ·))
s
Soient f E Vr, s > O. Il est clair qu'il existe g E Vr, continue, telle que 11! - gl 12 ~ 2
(modifier f
près de ses points de discontinuité).
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