Chapitre 7 • Séries de Fourier
7.2.2
Famille orthonormale (en)nEZ
Pour n E Z , on note ici en : IR -----* t !-----+ einwt
~ famille ( e,), EZ est orthonormale dans ( Vr , ( · I ·)) .
)
_ _ )
Preuve
On remarque d'abord: Vn E Z , en E Dr.
Q On a même: en E CT.
2
l {
·
·
1 {r ·
Soit (p ,q) E Z ; on a: (ep 1 eq) = T JrTJ e-'""'
1 e
1
qwr dt = T Jo e
1
ei (q- p)wr _ 1
•Sip =f. q , alors : (ep 1 eq) = .
= O,carwT = 2n et q - p E Z .
1(q - p)wT
1 !or
•Sip =q , alors (e p 1 eq ) = -
dt= 1.
T O
•
'Vf E Dr, 'Vn E Z, cn(f) =(en 1 f).
J
Preuve
11 . 11Cn(j) = -
f(t)e - '""'
1 dt = -
. en(t)f(t) dt= (e,, 1 f).
T [T]
T [r]
•
'
(e11)11EN estunefamillelibredans'DT,
Remarque: La famille (en)nEZ n'est pas une base de Dr ni de Cr. En effet, si (en)n EZ était
une base de Dr (ou de Cr), tout élément de Dr (ou de Cr) se décomposerait en une combi'-"" mais n'est pas une base de 'DT.
-0
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
414
naison linéaire finie des en (n E Z),donc serait de classe C 1 ; or Dr contient des applications
discontinues (par exemple, des« créneaux »,cf. 7.2.1 Exemple p.412) et Cr contient des appliExercices 7 .2.1, 7 .2.2.
cations qui ne sont pas de classe C 1 (par exemple, des dents de scie continues, cf. 7.1.1
Exemple 3) p. 404).
Exercices
7.2.1 SoientN E N, (Y-N· · .. ,yN) E c 2 N+ l ,j: IR ~ C
définie par :
N
'Vt E IR, f(t) = L Ykeikwr .
k=- N
Vérifier f E Dr, et calculer les coefficients de Fourier
(exponentiels) de f.
7.2.2
Soient n EN*, M E IR+, a 1 ,. •• a 11 E C tel s que
lail = ... = la11I =M.
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