5.1 ·Suites d'applications
~~.19 Montre< que la suito ( f. ; [ - I ; I ] ---+ lR ) , fo
une application qui n'est pas de classe c 1 .
5.1.6
~ Théorème très utile en pratique.
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
permuterjetlim.
1
noo
U J) On peut aussi orr btenir ce résultat
'
en calculant 1' 1 sin"tdt, appelée
intégrale de Wallis, cf. Analyse MPSI,
§ 6.4.4. Exemple 1).
l
Convergence d'une suite d'applications
et intégration sur un intervalle quelconque
0
Dans ce § 5.1.6, I désigne un intervalle de lR non vide ni réduit à un point (c'est-à-dire : l =fa 0 ).
Soit (J,, : l ~ IK)n eN une suite d'applications continues convergeant uniformément sur l vers
une application (continue) f : I ~ !K.
• Il se peut que les J,, soient intégrables sur l et que f ne le soit pas (cf. exercice 5.1.20
p. 304).
• Tl se peut que les J,, soient intégrables sur !, quel le soit, mais que la suite (/, ln) neN ne
converge pas vers/, l (cf. exercice 5.1.21 p. 304).
Tl nous faut donc renforcer les hypothèses, pour arriver à la conclusion que f soit intégrable sur I
et que /, fn ----+ /, f. C'est l'objet du théorème suivant, que nous admettons.
f
noo
f
1) Théorème de convergence dominée
Théorème de convergence dominée
Soit Un : I -----+ IK)nEN une suite d'applications.
Si
• pour tout n de N, ln est continue par morceaux sur I
• Cfn)nEN converge simplement sur I vers une application notée l
• l est continue par morceaux sur I
• il existe telle que : Vn E N, 1ln1 ~ alors
1
: _
pour tout n de N, ln est intégrable sur I
l est intégrable sur I
f, ln ----+ f, f.
I
noo
I
Remarque : L'hypothèse de domination ne peut pas être supprimée (cf. exercice 5.1.21
p.304) .
Exemples:
1) Montrer :
[
1
sin "x cir ----+ 0.
lo
n:x.
Le théorème de convergence dominée s'applique ici , avec I = [ 0; ~ J, ln : x r----+ sinn x,
1
0 si x E [ 0; ~ [
l : X r----+
TC
'
1 si X= 2
301
~~.19 Montre< que la suito ( f. ; [ - I ; I ] ---+ lR ) , fo
une application qui n'est pas de classe c 1 .
5.1.6
~ Théorème très utile en pratique.
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
permuterjetlim.
1
noo
U J) On peut aussi orr btenir ce résultat
'
en calculant 1' 1 sin"tdt, appelée
intégrale de Wallis, cf. Analyse MPSI,
§ 6.4.4. Exemple 1).
l
Convergence d'une suite d'applications
et intégration sur un intervalle quelconque
0
Dans ce § 5.1.6, I désigne un intervalle de lR non vide ni réduit à un point (c'est-à-dire : l =fa 0 ).
Soit (J,, : l ~ IK)n eN une suite d'applications continues convergeant uniformément sur l vers
une application (continue) f : I ~ !K.
• Il se peut que les J,, soient intégrables sur l et que f ne le soit pas (cf. exercice 5.1.20
p. 304).
• Tl se peut que les J,, soient intégrables sur !, quel le soit, mais que la suite (/, ln) neN ne
converge pas vers/, l (cf. exercice 5.1.21 p. 304).
Tl nous faut donc renforcer les hypothèses, pour arriver à la conclusion que f soit intégrable sur I
et que /, fn ----+ /, f. C'est l'objet du théorème suivant, que nous admettons.
f
noo
f
1) Théorème de convergence dominée
Théorème de convergence dominée
Soit Un : I -----+ IK)nEN une suite d'applications.
Si
• pour tout n de N, ln est continue par morceaux sur I
• Cfn)nEN converge simplement sur I vers une application notée l
• l est continue par morceaux sur I
• il existe telle que : Vn E N, 1ln1 ~ alors
1
: _
pour tout n de N, ln est intégrable sur I
l est intégrable sur I
f, ln ----+ f, f.
I
noo
I
Remarque : L'hypothèse de domination ne peut pas être supprimée (cf. exercice 5.1.21
p.304) .
Exemples:
1) Montrer :
[
1
sin "x cir ----+ 0.
lo
n:x.
Le théorème de convergence dominée s'applique ici , avec I = [ 0; ~ J, ln : x r----+ sinn x,
1
0 si x E [ 0; ~ [
l : X r----+
TC
'
1 si X= 2
301