Chapitre S ·Suites et séries d'applications
\?J. Si a if. ],alors a < a ou f3 < a,et
lJJ on rem~lace J par [a; {3] ou [a; a]
respectivement.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
300
Résultat utile en pratique. Dans les
exercices, le premier point de la
conclusion est déjà souvent acquis par
ailleurs.
Soit J = [a; tJ] un segment del; on peut supposer a E J. On a, pour tout x de J:
llhn(X)-h(x) ll = 11 1x gn - Lrg ll = 1 11x(g,,-g) ll
: : ; _: ; 1 { x llgn - gll I : : ; ; ; lx - a l Sup llgn(t) - g(t) ll
la
t Ela :xl
::;;; (tJ - a) Sup llgn(t) - g(t)ll,
tE [a ,,B]
et donc: Sup llhn(x) - h(x) ll::;;; (tJ - a) Sup llgn(t) - g(t) ll .
X E }
I E }
Comme (g,,)nEN converge uniformément sur J vers g,
Sup llg 11 (t) - g(t) ll -----+ 0 , donc
tE J
noo
Sup llh11(x) - h(x)ll-----+ 0.
XE}
1100
1 Ceci montre que (h 11 ),,EN converge uniformément sur tout segment del vers h.
Soit (/ 11 : l -----* E)nEN une suite d'applications.
Si
{ •
•. pour tout n de N, fn est de classe C
1 sur l
(f 11 )nEN converge simplement sur l vers une application notée f
(f~)nEN converge uniformément sur tout segment de l
vers une application notée g
{
• (f 11 )nEN converge uniformément sur tout segment del vers f
alors • f est de classe C
1 sur l
• !' = g.
Preuve
•
Soit a un point quelconque de l (il en existe au moins un) ; notons, pour n E N, gn = f~ et
hn = !11 - fn(a).
On peut alors appliquer le théorème précédent et déduire : g est continue sur !, (h11),, EN converge uniformément sur tout segment de l vers une application h, et h est la primitive de g sur l telle que
h(a) =O .
Il s'ensuit que Un ) 11 EN converge uniformément sur tout segment de l vers h + f (a) , d'où, puisque
C S .
J
fn -----+ f, f = h + f (a) , et donc f est de classe C sur let f' = h' = g.
1100
Une récurrence immédiate (sur k) permet d'obtenir le Corollaire suivant.
Soient (fn : I -----* E)n EN une suite d'applications, k E N*.
• pour tout n de N, fn est de classe ck sur l
• pour tout i de {O, ... ,k - l}, (f,~i))nEN converge simplement
Si
sur I vers une application notée 'Pi
• (f~k»nEN converge uniformément sur tout segment de I vers une
application notée
• pour tout i de {0, ... ,k - 1}, (f~i))n EN converge uniformément sur tout
segment de I vers 'Pi
alors
k
•
\?J. Si a if. ],alors a < a ou f3 < a,et
lJJ on rem~lace J par [a; {3] ou [a; a]
respectivement.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
300
Résultat utile en pratique. Dans les
exercices, le premier point de la
conclusion est déjà souvent acquis par
ailleurs.
Soit J = [a; tJ] un segment del; on peut supposer a E J. On a, pour tout x de J:
llhn(X)-h(x) ll = 11 1x gn - Lrg ll = 1 11x(g,,-g) ll
: : ; _: ; 1 { x llgn - gll I : : ; ; ; lx - a l Sup llgn(t) - g(t) ll
la
t Ela :xl
::;;; (tJ - a) Sup llgn(t) - g(t)ll,
tE [a ,,B]
et donc: Sup llhn(x) - h(x) ll::;;; (tJ - a) Sup llgn(t) - g(t) ll .
X E }
I E }
Comme (g,,)nEN converge uniformément sur J vers g,
Sup llg 11 (t) - g(t) ll -----+ 0 , donc
tE J
noo
Sup llh11(x) - h(x)ll-----+ 0.
XE}
1100
1 Ceci montre que (h 11 ),,EN converge uniformément sur tout segment del vers h.
Soit (/ 11 : l -----* E)nEN une suite d'applications.
Si
{ •
•. pour tout n de N, fn est de classe C
1 sur l
(f 11 )nEN converge simplement sur l vers une application notée f
(f~)nEN converge uniformément sur tout segment de l
vers une application notée g
{
• (f 11 )nEN converge uniformément sur tout segment del vers f
alors • f est de classe C
1 sur l
• !' = g.
Preuve
•
Soit a un point quelconque de l (il en existe au moins un) ; notons, pour n E N, gn = f~ et
hn = !11 - fn(a).
On peut alors appliquer le théorème précédent et déduire : g est continue sur !, (h11),, EN converge uniformément sur tout segment de l vers une application h, et h est la primitive de g sur l telle que
h(a) =O .
Il s'ensuit que Un ) 11 EN converge uniformément sur tout segment de l vers h + f (a) , d'où, puisque
C S .
J
fn -----+ f, f = h + f (a) , et donc f est de classe C sur let f' = h' = g.
1100
Une récurrence immédiate (sur k) permet d'obtenir le Corollaire suivant.
Soient (fn : I -----* E)n EN une suite d'applications, k E N*.
• pour tout n de N, fn est de classe ck sur l
• pour tout i de {O, ... ,k - l}, (f,~i))nEN converge simplement
Si
sur I vers une application notée 'Pi
• (f~k»nEN converge uniformément sur tout segment de I vers une
application notée
• pour tout i de {0, ... ,k - 1}, (f~i))n EN converge uniformément sur tout
segment de I vers 'Pi
alors
k
•