Chapitre S ·Suites et séries d'applications
'
En vue d'utiliser le théorème de
convergence dominée, les applications f 11
doivent avoir le même ensemble de
départ, d'où la construction des !11 cicontre.
\ } ) E(x) est la partie entière de x.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
'
302
L'hypothèse« l'intervalle est borné ,, est
essentielle.
L'hypothèse I borné intervient ici.
l
Il
(
k)"
2) Montrer, pour tout a E]O; +oo r fixé: B 1 - a n
e-a
l/'X.i
1 -e - "
Notons, pour n E N*, fn : [ 1; + oo[-----+ IR l'application définie par :
1
( . E(x))n
1-a - -
fn(x) =
O n
si 1 ::;; x < n + 1
si x ): n + 1.
Alors:
• Pour tout n de f::I*, fn est continue par morceaux et intégrable sur [ 1; + oo[
• (fn)n -;?: I converge simplement sur [l ; +oo[ vers f: x r-----+ e-aE(x) car, pour tout x de
[1; +oo[, on a, dès que n ): E(x) , fn(x) = ( 1 - a E~) r
• f est continue par morceaux sur [ l; +oo[
• cp = f est continue par morceaux, ): 0 , intégrable sur I (car, pour x ): 2 ,
0 ::;; cp(x ) ::;; e - a(x-l ) ), et, pourtoutn de f::I*, IJ,, I::;; cp , car, pourn E f::I* etx E [l ; n + 1(:
lfn(x) I = (1-a E~)r ::;; e-aECxl = cp(x) ,
qui résulte de: \:/t E] - 1; +oo[, ln(l + t) ::;; t.
Le théorème de convergence dominée s'applique, donc:
n (
k)n 1
L: 1-a- -
f,----+
k= l
n
- [I :+ oo[ n noo
[
f.
Jr1 :+ oo[
2) Cas de la convergence uniforme sur un intervalle borné
Soit Un : I ----+ OC.)n EN une suite d'applications.
I
• pour tout n de N, fn est continue et intégrable sur I
Si • Un )n EN converge uniformément sur I vers une application notée f
• I est borné
f est continue et intégrable sur l
alors
J fn --;;;/ J f.
Preuve
1) La continuité de f sur I résulte de 5.1.3 Cor. 2 p. 294.
2) Puisque Un ) 11 eN converge uniformément sur I vers f , il existe N E f::I tel que:
\:/x E /, lf N(X) - f(x)I::;; l,
d'où: \:/x E /, lf(x) I::;; 1 + lf N(x)I.
Comme f N est intégrable sur I et que x r-----+ 1 est intégrable sur I (car I est borné), il en résulte que f est
intégrable sur/.
3) On a, pour tout n de f::I :
If J,, - f 11 =I f Un - ni ::;; f lfn - fi ::;; l(l) ll fn - f lloo ,
où l ( /) est la longueur de l'intervalle borné / , et donc : f fn ----+ f f.
I
11 00
I
•