Propriété très utile en pratique, pour
étudier des intégrales dépendant d'un
paramètre aux deux bornes (cf. exercice 2.3.21 ).
\ 'j Rappelons que E
1 est l'ensemble des
~ applications del dans E.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Exercices 2.3.18 à 2.3.22.
Cette extension pourra intervenir lors
de l'étude des séries de Fourier. Bien
noter que doit être continue sur/.
2.3 • Intégration sur un segment
Preuve
Analogue à celle d' Analyse MPSI, 6.4. l Prop. l et 2.
•
de NU {+oo}, si f est de classe CP sur !, alors F
(to E l fixé) est de classe cp+I sur let F' = f.
Soient l, J deux intervalJes de ~' u, v : I ------+ ~ de classe C
1 sur I telles ~
u(l) c Jet v(l) c J,f : J ------+ E continue. Alors l'application V; : l ------+ E définie
par:
Vt E /,
1
v(t)
V;(t) =
f
u(t)
est de classe C
1 sur I et :
Vt E / , V;
1 (t) = v'(t)f(v(t)) - u'(t)f(u(t)).
2) Primitives
Soient/, E E 1 . On dit que est une primitive de / sur I si et seulement si: est
l dérivable sur I et ' = f.
Soit/ : I ------+ E continue. Alors :
1) Pour tout to de /, l'application I ------+ E est une prinùtive de f sur l
li-+ fr~ f
2) Pour toute primitive o de f sur /, l'ensemble des prinùtives de f sur I est
{o+A; A E E}.
Pour f : I ------+ E continue, on note f f ou I ------+ E l'une quelconque des primitives de f sur I.
XI-+ J f (x) clx
Soient (a,b) E / 2 ,f: I ------+ E continue,: I ------+ E une prinùtive de/ sur!. On a
alors: 1b f = (b) - (a).
L'élément (b )-(a) est noté [ (t)];~~ ou [ (t) ]~ et appelé variation de de a à b. )
3) Extension de la notion de primitive
---...
Soient f , E E
1
. On dit que est une primitive de f sur l si et seulement si est
continue sur I et, pout tout segment [a; b] inclus dans/, il existe une partie finie A
de [a; b] telle que:
est dérivable en tout point de [a; b] - A et, pour toutt de [a; b] - A,
1 (t) = f (t).
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