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138
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
On montre aisément les Propositions suivantes.
Soitf : I ----+ E continue par morceaux. Alors :
1) Pour tout to de I , l'application I ----+ E est une primitive de f sur I .
t t----* J;~ f
2) Pour toute primitive
)
r.etenir
Intégration et dérivation
• Pour obtenir des inégalités, portant éventuellement sur des intégrales, on pourra remplacer, sous des hypothèses convenables,f(b) - f(a) par 1b J '(t) dt (ex. 2.3.18 à 2.3.20).
De même, si f est de classe C 1 sur [a ; b], on pourra, si c'est utile, remplacer f(x) pour x E [a ; b] par, par
exemple: f (a)+ 1x J' (t) dt.
• Pour établir des inégalités sur des intégrales faisant intervenir des produits ou des carrés de fonctions (ex.
2.3.20 a)), penser à l' inégalité de Cauchy et Schwarz.
• Pour étudier une fonction du genre :
1
v(x)
' l/J : X~ ' l/J(x) =
f(t) dt,
u (x)
commencer par une étude soigneuse de l' ensemble de définition de ' l/J, en ne perdant pas de vue que f doit être
continue par morceaux sur l'intervalle joignant u(x) et v(x), et en ne mélangeant pas les rôles de x et de t .
Ensuite, si f est de classe c
0 et u, v de classe C
1
, appliquer le Cor. 2 du § 2.3.6 1) : 'l/J est de classe C
1 et, pour
tout x:
'l/J' (x) = f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x).
Ceci permet souvent d'obtenir les variations de ' l/J (ex. 2.3.21).
• Pour calculer certaines intégrales (ex. 2.3.22), il peut être utile de les considérer comme fonctions d ' un paramètre et appliquer, si possible, le Cor. 2 du § 2.3.6 1).
Voir aussi, plus loin les intégrales dépendant d' un paramètre, § 2.3.12.
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Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
On montre aisément les Propositions suivantes.
Soitf : I ----+ E continue par morceaux. Alors :
1) Pour tout to de I , l'application I ----+ E est une primitive de f sur I .
t t----* J;~ f
2) Pour toute primitive
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Intégration et dérivation
• Pour obtenir des inégalités, portant éventuellement sur des intégrales, on pourra remplacer, sous des hypothèses convenables,f(b) - f(a) par 1b J '(t) dt (ex. 2.3.18 à 2.3.20).
De même, si f est de classe C 1 sur [a ; b], on pourra, si c'est utile, remplacer f(x) pour x E [a ; b] par, par
exemple: f (a)+ 1x J' (t) dt.
• Pour établir des inégalités sur des intégrales faisant intervenir des produits ou des carrés de fonctions (ex.
2.3.20 a)), penser à l' inégalité de Cauchy et Schwarz.
• Pour étudier une fonction du genre :
1
v(x)
' l/J : X~ ' l/J(x) =
f(t) dt,
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commencer par une étude soigneuse de l' ensemble de définition de ' l/J, en ne perdant pas de vue que f doit être
continue par morceaux sur l'intervalle joignant u(x) et v(x), et en ne mélangeant pas les rôles de x et de t .
Ensuite, si f est de classe c
0 et u, v de classe C
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, appliquer le Cor. 2 du § 2.3.6 1) : 'l/J est de classe C
1 et, pour
tout x:
'l/J' (x) = f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x).
Ceci permet souvent d'obtenir les variations de ' l/J (ex. 2.3.21).
• Pour calculer certaines intégrales (ex. 2.3.22), il peut être utile de les considérer comme fonctions d ' un paramètre et appliquer, si possible, le Cor. 2 du § 2.3.6 1).
Voir aussi, plus loin les intégrales dépendant d' un paramètre, § 2.3.12.