Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
O Examen du cas particulier où f est
VJ k-lipschitzienne.
En pratique, les sommes de Riemann
apparaissent souvent sous cette forme,
associées à des subdivisions à pas
constant.
Ne pas oublier le facteur ( b - a) devant
le.Z::::.
Exemple d'une fonction à valeurs
matricielles.
Remarque: Comme dans Analyse MPSI, 6.2.7 Rem. 3), on montre que, si f : [a; b] -----+ E est
k-lipschitzienne (k E IR+ ), alors, pour toute subdivisions = (a 0 , ... ,an) de [a ; b] de pas noté
p(s) et toute famille (Çi )o,;:;i ,;:;n- 1 telle que : Yi E {O, ... ,n - l}, Çi E [ai; ai + i ], on a :
l l1b f - ~(a;+1 - a;)f(Ç;) I l ~ k(b - a)p(s).
• Soitf : [a; b] -----+ E continue. On a
b - a ~ ( . b - a)
lb
--~! a+i - - ----+
f.
n i=O
n
noo
a
•En particulier, si f : [0; l] -----+ E est continue, alors :
l
Exemple:
. (l n-1 (cosk:
hm - ' °"
n oo n L.,.,
br
k=o
sin -
n
] n - 1
(i) loi
- L:t - ----+ f.
n i=O
n
noo
0
-si",?))
cos -
n
[1 (cos.nt
- l o sin.nt
-sin.nt)
cos nt
dt= G
n
2.3.16 Déterminer ~~ t (cos ~ - i).
k=O
vn + k
2.3.17
2n
l
Déterminer ~~ L . (k + 1 ).
k=n k2 Jn _ _
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
-~
u
Proposition importante.
136
2.3.6
k
Intégration et dérivation
Dans ce § 2.3.6, l désigne un intervalle de IR non vide et non réduit à un point.
1) Intégrale fonction de la borne d'en haut
Soient to E / , f : l -----+ E continue par morceaux sur /. Notons F : l -----+ E l'ap- l
plication définie par :
Vt E /, F(t) = f,
1
f.
to
On a:
1) F est continue sur 1
2) Fest de classe C
1 par morceaux sur l
3) Fest dérivable en tout point t1 del en lequel! est continue, et F
1 (t1) = f(t1)
4) F(to) =O.