Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
'
On pourra essayer d'utiliser cette
Proposition lorsque f (x) est donné
par deux« formules »distinctes suivant
la position de x par rapport à a.
..._ La réciproque est fausse. La fonction
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@• .....,_.
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
110
valeur absolue 1 · 1 est continue en 0 et
n'est pas dérivable en O.
2.2.2
Ici, ex est un scalaire fixé, À est une
fonction à valeurs scalaires.
Alors,f est dérivable en a si et seulement si, pour chaque j de {l , ... ,N}, f; est dérivable
en a ;de plus, on a alorsf'(a) = (fj(a)) 1 ~J ,;;, N ·
Soient a E J,f E E
1
.
l) On dit que f est dérivable à droite en a si et seulement si
1
lim -(f(a + h) - / (a)) existe (dans E) ; cette limite est alors notée f~(a) et
h--+O+ h
appelée dérivée de f à droite en a.
2) On dit que f est dérivable à gauche en a si et seulement si
1
lim -(f(a + h) - / (a)) existe (dans E) ; cette limite est alors notée f,g' (a) et
h--+O- h
appelée dérivée de f à gauche en a.
l
On dispose d'une Proposition analogue à la Prop. 1 pour des dérivées à droite (resp. à gauche)
en a.
La Proposition suivante est immédiate.
0
Soient a El ,f E E 1 .
Pour que f soit dérivable en a, il faut et il suffit que f soit dérivable à droite et à
gauche en a et quef~ (a) = f~(a). De plus, sous ces hypothèses, on a alors
f ' (a) = f~(a) = J;(a).
J
Soient a E /,f E E 1 .
l Si f est dérivable en a, alors f est continue en a . ___ ]
l
1
f(a + h) = f(a) + h · - (f(a + h) - f(a)) ~ f(a),
h
h-->0
.
1
pmsque -(f(a + h) - f(a)) ~ f' (a) .
h
h-->0
Propriétés algébriques des applications
dérivables en un point
Soient a E /,a E IK, À: J ~ IK,f,g : J ~ E.
On suppose que À,j,g sont dérivables en a. Alors :
l)f + g est dérivable en a
et
(f + g)'(a) = f '(a) + g'(a)
2) af est dérivable en a
et
(af)'(a) = af'(a)
et
(Àf)
1 (a) = À
1 (a)f(a) + À(a)f'(a)
3) Àf est dérivable en a
1
4) Si À(a) # 0, alors - est dérivable en a et
À
(
1 ) '
À
1
(a)
À (a) = - (À(a))2 ·
•
'
On pourra essayer d'utiliser cette
Proposition lorsque f (x) est donné
par deux« formules »distinctes suivant
la position de x par rapport à a.
..._ La réciproque est fausse. La fonction
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@• .....,_.
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
110
valeur absolue 1 · 1 est continue en 0 et
n'est pas dérivable en O.
2.2.2
Ici, ex est un scalaire fixé, À est une
fonction à valeurs scalaires.
Alors,f est dérivable en a si et seulement si, pour chaque j de {l , ... ,N}, f; est dérivable
en a ;de plus, on a alorsf'(a) = (fj(a)) 1 ~J ,;;, N ·
Soient a E J,f E E
1
.
l) On dit que f est dérivable à droite en a si et seulement si
1
lim -(f(a + h) - / (a)) existe (dans E) ; cette limite est alors notée f~(a) et
h--+O+ h
appelée dérivée de f à droite en a.
2) On dit que f est dérivable à gauche en a si et seulement si
1
lim -(f(a + h) - / (a)) existe (dans E) ; cette limite est alors notée f,g' (a) et
h--+O- h
appelée dérivée de f à gauche en a.
l
On dispose d'une Proposition analogue à la Prop. 1 pour des dérivées à droite (resp. à gauche)
en a.
La Proposition suivante est immédiate.
0
Soient a El ,f E E 1 .
Pour que f soit dérivable en a, il faut et il suffit que f soit dérivable à droite et à
gauche en a et quef~ (a) = f~(a). De plus, sous ces hypothèses, on a alors
f ' (a) = f~(a) = J;(a).
J
Soient a E /,f E E 1 .
l Si f est dérivable en a, alors f est continue en a . ___ ]
l
1
f(a + h) = f(a) + h · - (f(a + h) - f(a)) ~ f(a),
h
h-->0
.
1
pmsque -(f(a + h) - f(a)) ~ f' (a) .
h
h-->0
Propriétés algébriques des applications
dérivables en un point
Soient a E /,a E IK, À: J ~ IK,f,g : J ~ E.
On suppose que À,j,g sont dérivables en a. Alors :
l)f + g est dérivable en a
et
(f + g)'(a) = f '(a) + g'(a)
2) af est dérivable en a
et
(af)'(a) = af'(a)
et
(Àf)
1 (a) = À
1 (a)f(a) + À(a)f'(a)
3) Àf est dérivable en a
1
4) Si À(a) # 0, alors - est dérivable en a et
À
(
1 ) '
À
1
(a)
À (a) = - (À(a))2 ·
•