2.1.4 Trouver toutes les applications f : IR ~ IR
2 continues en 0 et telles que :
{
f(O) = (-1,1)
'v't E IR, f(2t) = cht · f(t).
2.2 Dérivation
2.2 • Dérivation
2.1.5 Soient (a, b) E IR 2 tel que a < b, f: [a; b] ~ C
continue telle que :
'v't E [a ; b], (Ré(f(t)) = 0 ===? lm(f (t)) =/= o).
Montrer qu'il existe m E !Ri tel que :
'v't E [a ; b], lf(t) I ~ m.
Dans ce § 2.2, I désigne un intervalle de IR non vide et non réduit à un point.
2.2.1
Dérivée en un point
,.,
Rappelons que, dans ce chapitre,
\J_, E désigne un K-ev de dimension finie.
Soient a E /, f E E
1
. On dit que f est dérivable en a si et seulement si Î
1
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Cette proposition permet, lors d'une
étude de dérivation de fonction à valeurs
vectorielles, de se ramener à des
fonctions à valeurs réelles ou complexes.
g Généralisation de la Prop.1 .
lim -(f(a + h) - f(a)) existe (dans E); cette limite est alors notéef'(a) et appeh~o h
l lée dérivée de f en a .
Ainsi, sous réserve d 'existence :
. 1
f'(a) =hm - (f(a + h) - f(a))
h-+0 h
On peut aussi noter (Df)(a) , (D 1 f)(a), ou df (a) au lieu def'(a).
dt
Toute application constante À : I ~ E est dérivable en tout a de I, et À
1 (a) = 0 .
t t----+ À
Supposons que E soit muni d'une base B.
Soient a E J,f E E 1 ,J1 , ... JN les applications composantes de f dans B. Alors,f
est dérivable en a si et seulement si, pour chaque j de { 1, .. . , N}, fj est dérivable en
N
a; de plus, on a alors f ' (a) ~ [;, Jj (a)ej.
J
l
~~~~~~~~~~~~~~~Preuve
Il suffit de remarquer que, pour tout h de !, tel que h =I= 0 et a + h E l :
1
N 1
h(f(a + h) - f(a)) = L h(fj(a + h) - .fJ(a))ej.
J=I
•
Remarque:
N
Plus généralement, soient NE N* , E 1 , ••• , E N des IK-evn de dimensions finies, E = Jl Ej,
j=I
f : I ~ E une application. Notons, pour chaque j de {l, ... ,N} , fj: I ~ Ej, de façon
que: 'v't E / , f(t) = (fj(t))1 ~ j ,;;, N109