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Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
CS;x:e.-cice.-type .-ésolu
Un exemple d'inéquation fonctionnelle
Montrer qu'il n'existe pas d'application f : lR -----+ lR telle que :
V X E lR, V h E IR+, f (x + h) ~ f (x) + .Jh.
Solution
Supposons qu'il existe f convenant.
Soit n E N* .
On a:
( n-1) (1
f(l) ~ f - n -
+y~·
d'où, en additionnant et en télescopant :
f (l) ~ f (0) +nif,
c'est-à-dire :
f (l) ~ f (0) + Jn.
En faisant tendre n vers l'infini, on obtient une contradiction.
On conclut qu'il n'existe pas d'application f convenant.
Les méthodes à retenir
Continuité
Conseils
Raisonnement par l'absurde.
Application de l'hypothèse à :
1 2
n - 1
0, -, - , ... , - - .
n n
n
Télescopage.
• Pour étudier une fonction à valeurs dans JR
2 , on se ramène souvent à l'étude des deux fonctions composantes.
• Pour la résolution d'équations fonctionnelles faisant intervenir f (t) etf (~) ,on pourra essayer, en changeant
de fonction inconnue, de se ramener à une équation fonctionnelle plus simple :
'v'tE IR, g(t)=g(~),
puis on pensera à itérer dans cette égalité :
g(t)=g(~) =g(;2) = . ..
(ex. 2.1.4).