1
"} \ L'usage a consacré, dans ce contexte, la
\.,;...> notation(f) au lieu de o f.
,
L'usage a consacré, dans ce contexte, la
\j_ notation B(f,g) aulieudeB o (f,g),
où (f,g) est l'application
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
t E 1 1-+ (f,g)(t) = (f (t),g(t)).
On fait apparaître
1
h(f(a + h) - f(a))
en récupérant un terme dans le calcul.
g Dérivée d'un produit scalaire.
2.2 • Dérivation
Preuve
Analogue à celle du Th. I de 5.1 .2 Analyse MPSI.
•
Soient E,F deux JK-evn de dimensions finies, dérivable en a.
1 L'application est dérivable en a et: {Cf))' (a)=(f'(a)).
1
L
r~
Preuve
Pour tout h de IR* tel que a + h E I :
~ ( = <1>(~ (!
lz
h-'>O
Comme h
h-40
Soient E, F, G trois JK-evn de dimensions finies, B : E x F -----+ G une application l
bilinéaire, a E 1, f: l--+ E, g: 1----+ Fdérivablesena. L'application B(f,g)
1 --+ G
est dérivable en a et :
t~B(f(t),g(t))
(B(f,g))'(a) = B(f' (a),g(a)) + B(f(a),g'(a)).
Preuve
Pour tout h de IR* tel que a + h E l :
~ ( B(f,g)(a + h) - B(f,g)(a)) = ~ ( B (! = B (~(!Ca+ h) - f(a)),g(a + h)) + B(f(a),~(g(a + h) - g(a))).
Puisque f et g sont dérivables en a :
2. (!(a+ h) - f (a)) -----+ J' (a) et 2. (g(a + h) - g(a)) -----+ g' (a).
h
h-'>O
h
h-'>O
Comme B est bilinéaire et E et F de dimensions finies, B est continue sur E x F (cf. 1.3.2 Prop. 2
p. 64), en particulier en (f' (a),g(a)) et en (f (a),g' (a)), d'où :
~ ( B(f,g)(a + h) - B(f,g)(a)) ~ B(!'(a),g(a)) + B(!(a) ,g'(a) ).
•
1) Si (E,(. 1 .)) est un espace euclidien ou hermitien et sif,g : l-----+ E sont dérivables en a, alors (f 1 g) : l --+ lK
est dérivable en a et :
t~(f(t)lg(t))
(f 1 g)'(a) = (f
1 (a) 1 g(a)) + (f(a) 1 g'(a)).
111
"} \ L'usage a consacré, dans ce contexte, la
\.,;...> notation
,
L'usage a consacré, dans ce contexte, la
\j_ notation B(f,g) aulieudeB o (f,g),
où (f,g) est l'application
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
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Ol
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>- 0.
0
u
t E 1 1-+ (f,g)(t) = (f (t),g(t)).
On fait apparaître
1
h(f(a + h) - f(a))
en récupérant un terme dans le calcul.
g Dérivée d'un produit scalaire.
2.2 • Dérivation
Preuve
Analogue à celle du Th. I de 5.1 .2 Analyse MPSI.
•
Soient E,F deux JK-evn de dimensions finies, dérivable en a.
1 L'application est dérivable en a et: {Cf))' (a)=
1
L
r~
Preuve
Pour tout h de IR* tel que a + h E I :
~ ( = <1>(~ (!
lz
h-'>O
Comme h
h-40
Soient E, F, G trois JK-evn de dimensions finies, B : E x F -----+ G une application l
bilinéaire, a E 1, f: l--+ E, g: 1----+ Fdérivablesena. L'application B(f,g)
1 --+ G
est dérivable en a et :
t~B(f(t),g(t))
(B(f,g))'(a) = B(f' (a),g(a)) + B(f(a),g'(a)).
Preuve
Pour tout h de IR* tel que a + h E l :
~ ( B(f,g)(a + h) - B(f,g)(a)) = ~ ( B (! = B (~(!Ca+ h) - f(a)),g(a + h)) + B(f(a),~(g(a + h) - g(a))).
Puisque f et g sont dérivables en a :
2. (!(a+ h) - f (a)) -----+ J' (a) et 2. (g(a + h) - g(a)) -----+ g' (a).
h
h-'>O
h
h-'>O
Comme B est bilinéaire et E et F de dimensions finies, B est continue sur E x F (cf. 1.3.2 Prop. 2
p. 64), en particulier en (f' (a),g(a)) et en (f (a),g' (a)), d'où :
~ ( B(f,g)(a + h) - B(f,g)(a)) ~ B(!'(a),g(a)) + B(!(a) ,g'(a) ).
•
1) Si (E,(. 1 .)) est un espace euclidien ou hermitien et sif,g : l-----+ E sont dérivables en a, alors (f 1 g) : l --+ lK
est dérivable en a et :
t~(f(t)lg(t))
(f 1 g)'(a) = (f
1 (a) 1 g(a)) + (f(a) 1 g'(a)).
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