2.1 • Généralités
Lorsque E = IK, le 2) de la Prop. 2 et le fait que 1 E B(X; IK) permettent de conclure
que (B(X; IK),11 · lloo) est une algèbre normée (cf. 1.1.1 4) Déf. p. 9).
Remarque: Soient (E,(. 1 .)) un espace préhilbertien, Il· Il la norme associée à (. 1 .),
f ,g E Ex bornées. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
1 11 · 11 désigne ici la norme associée au
\j) produit scalaire (· 1 -) .
Vt EX, l(f(t) 1 g(t)) I :S:: ll f(t) ll llg(t)ll :S:: ll f lloollglloo,
-0
0
c
~
0
N
@
.._,
.s::
Ol
· ; : : '
~0
u
on déduit que (f 1 g) :X----+ lK est bornée et: ll(f 1 g) lloo :S:: llf lloollglloo·
2.1.3 Soit f : [O; +oo[----+ E une application telle que,
pour tout x de [O; +oo[, f soit bornée sur [O; x]; on note
M : [O; + oo[----+ lR l'application définie par :
On suppose qu'il existe A E lR+ tel que: Vx E [O; +oo[,
1
ll f(x) ll ~ A+ 2 M(x).
Vx E [0; +oo[, M(x) = Sup ll f(t) ll .
2.1.5
La Prop. 2 permet de ramener l'étude
d'une limite de fonction à valeurs
vectorielles (f) à celle d'une fonction
à valeurs réelles C l If -111) , si on
pressent la valeur de 1.
La réciproque de la Prop. 3 est fausse.
Caractérisation séquentielle de
l'existence d'une limite d'une fonction.
l
I E[O:xl
Montrer que f est bornée sur [0; +oo[.
Limites
Pour f : X ----+ E , la notion de limite de f en a (a E X) a été vue en 1.2. l p. 39. Il nous reste
à compléter cette étude dans le cas où l'on veut faire tendre la variable (réelle) vers +oo ou -oo.
Soient X E l,p(IR) telle qu'il existe a E IR tel que [a; +oo[c X,f E Ex, l E E. On
dit que f admet l pour limite en +oo si et seulement si :
'V8 > 0, 3A > 0, 'Vt EX, (t ~ A===} 11/(t) - Ill :S:: 8).
Comme dans Analyse MPSI, 4.2, on montre les propositions suivantes.
Unicité de la limite, si elle existe
Si/ admet l et l' pour limites en a, alors l = l' .
J
On peut alors utiliser une notation fonctionnelle: si/ admet l pour limite en a, on note
l = lim /(t) , ou l = lim / , ou/(t)----+ /,
ou/----+ l.
t--+a
a
t --+ a
a
f(t)----+ L {:::::::} 11/(t) - Ill---+ o.
t ~a
t ~ a
)
Si f admet une limite (finie) en a, alors f est bornée au voisinage de a.
Utilisation de suites pour traduire une limite de fonction
Pour que f admette l pour limite en a, il faut et il suffit que :
_ ]
pour toute suite (un)neN dans X telle que Un----+ a, on ait/ (un)----+ l.
noo
noo
Remarque: Sous les hypothèses de la Proposition 4, on a: l E f (X).
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Lorsque E = IK, le 2) de la Prop. 2 et le fait que 1 E B(X; IK) permettent de conclure
que (B(X; IK),11 · lloo) est une algèbre normée (cf. 1.1.1 4) Déf. p. 9).
Remarque: Soient (E,(. 1 .)) un espace préhilbertien, Il· Il la norme associée à (. 1 .),
f ,g E Ex bornées. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
1 11 · 11 désigne ici la norme associée au
\j) produit scalaire (· 1 -) .
Vt EX, l(f(t) 1 g(t)) I :S:: ll f(t) ll llg(t)ll :S:: ll f lloollglloo,
-0
0
c
~
0
N
@
.._,
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Ol
· ; : : '
~0
u
on déduit que (f 1 g) :X----+ lK est bornée et: ll(f 1 g) lloo :S:: llf lloollglloo·
2.1.3 Soit f : [O; +oo[----+ E une application telle que,
pour tout x de [O; +oo[, f soit bornée sur [O; x]; on note
M : [O; + oo[----+ lR l'application définie par :
On suppose qu'il existe A E lR+ tel que: Vx E [O; +oo[,
1
ll f(x) ll ~ A+ 2 M(x).
Vx E [0; +oo[, M(x) = Sup ll f(t) ll .
2.1.5
La Prop. 2 permet de ramener l'étude
d'une limite de fonction à valeurs
vectorielles (f) à celle d'une fonction
à valeurs réelles C l If -111) , si on
pressent la valeur de 1.
La réciproque de la Prop. 3 est fausse.
Caractérisation séquentielle de
l'existence d'une limite d'une fonction.
l
I E[O:xl
Montrer que f est bornée sur [0; +oo[.
Limites
Pour f : X ----+ E , la notion de limite de f en a (a E X) a été vue en 1.2. l p. 39. Il nous reste
à compléter cette étude dans le cas où l'on veut faire tendre la variable (réelle) vers +oo ou -oo.
Soient X E l,p(IR) telle qu'il existe a E IR tel que [a; +oo[c X,f E Ex, l E E. On
dit que f admet l pour limite en +oo si et seulement si :
'V8 > 0, 3A > 0, 'Vt EX, (t ~ A===} 11/(t) - Ill :S:: 8).
Comme dans Analyse MPSI, 4.2, on montre les propositions suivantes.
Unicité de la limite, si elle existe
Si/ admet l et l' pour limites en a, alors l = l' .
J
On peut alors utiliser une notation fonctionnelle: si/ admet l pour limite en a, on note
l = lim /(t) , ou l = lim / , ou/(t)----+ /,
ou/----+ l.
t--+a
a
t --+ a
a
f(t)----+ L {:::::::} 11/(t) - Ill---+ o.
t ~a
t ~ a
)
Si f admet une limite (finie) en a, alors f est bornée au voisinage de a.
Utilisation de suites pour traduire une limite de fonction
Pour que f admette l pour limite en a, il faut et il suffit que :
_ ]
pour toute suite (un)neN dans X telle que Un----+ a, on ait/ (un)----+ l.
noo
noo
Remarque: Sous les hypothèses de la Proposition 4, on a: l E f (X).
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