Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
1 Rappelons que, dans ce chapitre, E
\J_, désigne un K-evn de dimension finie.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
'
104
Généralisation de la notation 11/lloo
pour f : X ---> IR, cf. Analyse MPSI,
§ 4.1.8 Prop.3.
Dans 2), À est une constante.
Dans 3), À est une fonction à valeurs
scalaires.
Supposons que E soit muni d'une base !3. Une application! : X ---+ E est bornée si
et seulement si toutes les applications composantes de f dans l3 sont bornées.
__)
Preuve
1) Supposons que les applications composantes de f dans B = ( e 1 , • • • , e N ) , notées f1 , ... , f N, soient
bornées. On a alors :
N
N
N
'Vt E X , llf(t)ll = L f; (t )ej ~ L lfj(l)l llejll ~ L llf;l lool lejl l,
j=I
j=I
j=I
ce qui montre que f est bornée.
2) Réciproquement, supposons f bornée. Puisque toutes les normes sur un IK-ev de dimension finie sont
équivalentes (cf. 1.3.2 Th. l , p. 63), il existe f3 E lRi tel que :
où llYl loo = Max IYjl
l ~ J ~n
Soitj E {l , ... ,N) : on a:
'Vy E E , llYlloo ~ fJ ll Yll.
N
lorsque y = L Yj Cj .
j=l
'Vt E X , lf;(t) I ~ llf(t)lloo ~ fJ ll J(t)ll,
1 ce qui prouve que f; est bornée.
•
l
]
Pour toute application bornée!: X---+ E, on note:
llflloo = Sup llf(t)ll.
t EX
1) Sif,g: X ---+ E sont bornées, alorsf + g est bornée et:
llf + gll oo ~ llfll oo + llgll oo -
2) Si À E IK et si f : X ---+ E est bornée, alors Àf est bornée et :
llÀflloo = IÀI llfll oo -
3) Si À : X ---+ IK et f : X ---+ E sont bornées, alors Àf est bornée et :
Preuve
Analogue à celle de 4.1.8 Prop. 2, Analyse MPSI.
•
On note B(X; E) l'ensemble des applications bornées de X dans E.
D'après 1) et 2) de la Prop. 2 (et B(X; E) -::j=. 0 ) , on déduit la Prop. 3 suivante.
L'ensemble B(X; E) des applications bornées de X dans E est un IK -sev de EX, et
l'application 11 · 11 00 : B (X; E) ---+ IR est une nonne sur le IK-ev B (X; E).
fr------r ll f lloo
1 Rappelons que, dans ce chapitre, E
\J_, désigne un K-evn de dimension finie.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
'
104
Généralisation de la notation 11/lloo
pour f : X ---> IR, cf. Analyse MPSI,
§ 4.1.8 Prop.3.
Dans 2), À est une constante.
Dans 3), À est une fonction à valeurs
scalaires.
Supposons que E soit muni d'une base !3. Une application! : X ---+ E est bornée si
et seulement si toutes les applications composantes de f dans l3 sont bornées.
__)
Preuve
1) Supposons que les applications composantes de f dans B = ( e 1 , • • • , e N ) , notées f1 , ... , f N, soient
bornées. On a alors :
N
N
N
'Vt E X , llf(t)ll = L f; (t )ej ~ L lfj(l)l llejll ~ L llf;l lool lejl l,
j=I
j=I
j=I
ce qui montre que f est bornée.
2) Réciproquement, supposons f bornée. Puisque toutes les normes sur un IK-ev de dimension finie sont
équivalentes (cf. 1.3.2 Th. l , p. 63), il existe f3 E lRi tel que :
où llYl loo = Max IYjl
l ~ J ~n
Soitj E {l , ... ,N) : on a:
'Vy E E , llYlloo ~ fJ ll Yll.
N
lorsque y = L Yj Cj .
j=l
'Vt E X , lf;(t) I ~ llf(t)lloo ~ fJ ll J(t)ll,
1 ce qui prouve que f; est bornée.
•
l
]
Pour toute application bornée!: X---+ E, on note:
llflloo = Sup llf(t)ll.
t EX
1) Sif,g: X ---+ E sont bornées, alorsf + g est bornée et:
llf + gll oo ~ llfll oo + llgll oo -
2) Si À E IK et si f : X ---+ E est bornée, alors Àf est bornée et :
llÀflloo = IÀI llfll oo -
3) Si À : X ---+ IK et f : X ---+ E sont bornées, alors Àf est bornée et :
Preuve
Analogue à celle de 4.1.8 Prop. 2, Analyse MPSI.
•
On note B(X; E) l'ensemble des applications bornées de X dans E.
D'après 1) et 2) de la Prop. 2 (et B(X; E) -::j=. 0 ) , on déduit la Prop. 3 suivante.
L'ensemble B(X; E) des applications bornées de X dans E est un IK -sev de EX, et
l'application 11 · 11 00 : B (X; E) ---+ IR est une nonne sur le IK-ev B (X; E).
fr------r ll f lloo