Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
Ce théorème pourra servir à montrer
l'existence d'une limite lorsqu'on ne
pressent pas la valeur de cette limite.
Cette Proposition permet, dans une
recherche de limite de fonction à valeurs
vectorielles,de se ramener à la recherche
de limites de fonctions à valeurs réelles
ou complexes.
~ Usage fréquent.
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
106
2.1.6
Cette condition revient à ce que,
pour chaque i de (0, ... n - 1},
fÏ]a; :a;+ 1 [ admette un prolongement continu à [a;; a;+ il.
CNS de Cauchy d'existence d'une limite pour une fonction à
valeurs dans un evn de dimension finie
Soient XE \'P(ffi.), a EX (éventuellement, a= -oo ou a= +oo), f E Ex. Pour
que f admette une limite en a, il faut et il suffit que :
'Ve > 0, 3V E V(a), 'V(t
1 , t
11
) E (X n V)
2 , l lf(t') - f(t")l I ::0:: e. __J
Preuve
Cf. l.4.2 Th. 1 p. 69.
•
Supposons que E soit muni d'une base B. Soient/ E Ex ,/1, ... , f N les applications
composantes de/dans B, l E E, li ,. .. ,IN les composantes del dans B .
Alors, f admet l pour limite en a si et seulement si, pour tout j de { 1,. .. , N},
fj admet lj pour limite en a.
Preuve
Puisque toutes les normes sur E sont équivalentes, il existe (a,{3) E (IR'.f.)2 tel que, pour tout y de E :
allylloo ::0:: llyll ::0:: f311ylloo,
où llYlloo = Max IYj l lorsque y = (yj)l ~j ~N·
l ~ j ~ N
""= ~
On a alors, pour tout t de X :
l
llf(t) - /Il= Il t ( fj(t) - lj)ejll ~ f3 t lfj(t) - ljl llejlloo
V j E {!, ... ,N},j~~(t) - IJI ,;; 11/(t) ~~l , l oo,;; ~11/(t) - Ill.
d'où: Cllf(t) - I ll~ 0) {=::} (Vj E {l,. .. ,N }, lfj (t) - l1I ~ 0 ).
1-a
1-a
Composition des limites
--Soient X,Y E \'P(ffi.), a EX, b E Y, l E E,f E ~x. g E EY telles que/(X) c Y.
Si
. .
, alors g o f admet l pour limite en a.
{
f admet b pour limite en a 1
g admet l pour ltm1te en b
Continuité par morceaux
•
L'étude des applications continues de X dans E vue en 1.2.2 p. 42 est bien sûr ici valable. Nous
allons la compléter par l'étude des applications continues par morceaux.
Soient (a, b) E ffi. 2 tel que a < b , et f E E[a ;b l. On dit que f est continue par morceaux sur [a ; b] si et seulement s'il existe n EN* et (ao,. .. ,an) E [a; br+' tels
que:
l
• a = ao < . . . < an = b
• pour tout i de { 0, ... , n - 1}, la restriction de f à ]ai ; ai+ 1 [ est continue sur
]ai ; ai+ 1 [ et admet une limite finie en ai à droite et une limite finie en ai+ 1
à gauche.
Ce théorème pourra servir à montrer
l'existence d'une limite lorsqu'on ne
pressent pas la valeur de cette limite.
Cette Proposition permet, dans une
recherche de limite de fonction à valeurs
vectorielles,de se ramener à la recherche
de limites de fonctions à valeurs réelles
ou complexes.
~ Usage fréquent.
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
106
2.1.6
Cette condition revient à ce que,
pour chaque i de (0, ... n - 1},
fÏ]a; :a;+ 1 [ admette un prolongement continu à [a;; a;+ il.
CNS de Cauchy d'existence d'une limite pour une fonction à
valeurs dans un evn de dimension finie
Soient XE \'P(ffi.), a EX (éventuellement, a= -oo ou a= +oo), f E Ex. Pour
que f admette une limite en a, il faut et il suffit que :
'Ve > 0, 3V E V(a), 'V(t
1 , t
11
) E (X n V)
2 , l lf(t') - f(t")l I ::0:: e. __J
Preuve
Cf. l.4.2 Th. 1 p. 69.
•
Supposons que E soit muni d'une base B. Soient/ E Ex ,/1, ... , f N les applications
composantes de/dans B, l E E, li ,. .. ,IN les composantes del dans B .
Alors, f admet l pour limite en a si et seulement si, pour tout j de { 1,. .. , N},
fj admet lj pour limite en a.
Preuve
Puisque toutes les normes sur E sont équivalentes, il existe (a,{3) E (IR'.f.)2 tel que, pour tout y de E :
allylloo ::0:: llyll ::0:: f311ylloo,
où llYlloo = Max IYj l lorsque y = (yj)l ~j ~N·
l ~ j ~ N
""= ~
On a alors, pour tout t de X :
l
llf(t) - /Il= Il t ( fj(t) - lj)ejll ~ f3 t lfj(t) - ljl llejlloo
V j E {!, ... ,N},j~~(t) - IJI ,;; 11/(t) ~~l , l oo,;; ~11/(t) - Ill.
d'où: Cllf(t) - I ll~ 0) {=::} (Vj E {l,. .. ,N }, lfj (t) - l1I ~ 0 ).
1-a
1-a
Composition des limites
--Soient X,Y E \'P(ffi.), a EX, b E Y, l E E,f E ~x. g E EY telles que/(X) c Y.
Si
. .
, alors g o f admet l pour limite en a.
{
f admet b pour limite en a 1
g admet l pour ltm1te en b
Continuité par morceaux
•
L'étude des applications continues de X dans E vue en 1.2.2 p. 42 est bien sûr ici valable. Nous
allons la compléter par l'étude des applications continues par morceaux.
Soient (a, b) E ffi. 2 tel que a < b , et f E E[a ;b l. On dit que f est continue par morceaux sur [a ; b] si et seulement s'il existe n EN* et (ao,. .. ,an) E [a; br+' tels
que:
l
• a = ao < . . . < an = b
• pour tout i de { 0, ... , n - 1}, la restriction de f à ]ai ; ai+ 1 [ est continue sur
]ai ; ai+ 1 [ et admet une limite finie en ai à droite et une limite finie en ai+ 1
à gauche.