Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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Conseils
Selon l'usage, on note λ la variable.
Développement par rapport à la 1 ère ligne,
car celle-ci ne contient que deux termes
(au plus) non nuls.
Le premier déterminant est celui d'une
matrice triangulaire. On note, par exemple,
∆ n−1 (λ) le deuxième déterminant.
C 1 ←− C 1 − C 2 , puis développement par
rapport à la 1 ère colonne.
On contrôle le résultat obtenu, pour n = 2
par exemple :
χ A 2 (λ) =
1 − λ
1
1
1− λ
= (1 − λ)
2 − 1.
L'étude des variations de
(−1)
n χ An (λ) : λ −→ (λ − 1)
n − λ
n−2
sur ]1; +∞[, n'est pas immédiate, car le
signe de la dérivée n'est pas évident. En
divisant par λ n−2 , on fait apparaître un
terme constant, qui disparaîtra dans
le calcul de la dérivée.
Car λ > 0 et n 2.
F n (λ) =
(−1) n χ An (λ)
λ n−2
.
Solution
a) On forme le polynôme caractéristique χ An de A n :
χ An (λ) = det (A n − λI n ) =
1 − λ 0 . . . 0
1
1
. . .
. . . (0)
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
(1)
. . .
. . .
0
1
. . . . . . 1 1− λ
[n]
= (1 − λ)
1 − λ
0
. . . . . .
0
1
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
( 1)
. . .
. . .
. . .
1
. . . . . .
1
1− λ
[n−1]
+ (−1)
n+1
1 1− λ
0
. . .
0
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
. . .
(1)
. . .
. . . 1 − λ
1
. . .
. . .
1
1
[n−1]
et :
= (1 − λ)(1 − λ)
n−1 + (−1)
n+1 ∆ n−1 (λ),
∆ n−1 (λ) =
λ 1 − λ 0 . . .
0
0
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
(1)
. . . 1 − λ
0
1
. . . . . .
1
[n−1]
= λ∆ n−2 (λ).
On déduit :
∆ n−1 (λ) = λ∆ n−2 (λ) = ... = λ
n−2 ∆ 1 (λ) = λ
n−2 · 1 = λ
n−2 .
Donc :
χ An (λ) = (1 − λ)
n + (−1)
n+1 λ
n−2 = (−1)
n
(λ − 1)
n − λ
n−2
.
b) Considérons l'application F n :]1; +∞[ −→ R définie par :
λ → F n (λ) =
(−1)
n
χ An (λ)
λ n−2
=
(λ − 1)
n
λ n−2 − 1 = (λ − 1)
n λ
−n+2 − 1.
L'application F n est dérivable sur ]1; +∞[ et, pour tout λ ∈ ]1; +∞[ :
F
n (λ) = n(λ − 1)
n−1 λ
−n+2 + (−n + 2)(λ − 1)
n λ
−n+1
=
(λ − 1)
n−1
λ n−1
nλ + (−n + 2)(λ − 1)
=
(λ − 1)
n−1
λ n−1
2λ + (n − 2)
0.
D'autre part :
F n (λ) −→
λ −→ 1
−1 < 0
et
F n (λ) −→
λ −→ +∞
+∞ > 0.
On en déduit le tableau des variations de F n :
λ
1
+∞
F
n (λ)
+
F n (λ)
−1
+∞
D'après le théorème de la bijection monotone, on conclut que l'équation F n (λ) = 0,
d'inconnue λ ∈ ]1; +∞[, admet une solution et une seule, et donc χ An admet, dans
]1; +∞[, un zéro et un seul.
Finalement : Sp R (A n ) ∩ ]1; +∞[ est un singleton.
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Conseils
Selon l'usage, on note λ la variable.
Développement par rapport à la 1 ère ligne,
car celle-ci ne contient que deux termes
(au plus) non nuls.
Le premier déterminant est celui d'une
matrice triangulaire. On note, par exemple,
∆ n−1 (λ) le deuxième déterminant.
C 1 ←− C 1 − C 2 , puis développement par
rapport à la 1 ère colonne.
On contrôle le résultat obtenu, pour n = 2
par exemple :
χ A 2 (λ) =
1 − λ
1
1
1− λ
= (1 − λ)
2 − 1.
L'étude des variations de
(−1)
n χ An (λ) : λ −→ (λ − 1)
n − λ
n−2
sur ]1; +∞[, n'est pas immédiate, car le
signe de la dérivée n'est pas évident. En
divisant par λ n−2 , on fait apparaître un
terme constant, qui disparaîtra dans
le calcul de la dérivée.
Car λ > 0 et n 2.
F n (λ) =
(−1) n χ An (λ)
λ n−2
.
Solution
a) On forme le polynôme caractéristique χ An de A n :
χ An (λ) = det (A n − λI n ) =
1 − λ 0 . . . 0
1
1
. . .
. . . (0)
0
. . .
. . .
. . .
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. . .
(1)
. . .
. . .
0
1
. . . . . . 1 1− λ
[n]
= (1 − λ)
1 − λ
0
. . . . . .
0
1
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
( 1)
. . .
. . .
. . .
1
. . . . . .
1
1− λ
[n−1]
+ (−1)
n+1
1 1− λ
0
. . .
0
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
. . .
(1)
. . .
. . . 1 − λ
1
. . .
. . .
1
1
[n−1]
et :
= (1 − λ)(1 − λ)
n−1 + (−1)
n+1 ∆ n−1 (λ),
∆ n−1 (λ) =
λ 1 − λ 0 . . .
0
0
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
(1)
. . . 1 − λ
0
1
. . . . . .
1
[n−1]
= λ∆ n−2 (λ).
On déduit :
∆ n−1 (λ) = λ∆ n−2 (λ) = ... = λ
n−2 ∆ 1 (λ) = λ
n−2 · 1 = λ
n−2 .
Donc :
χ An (λ) = (1 − λ)
n + (−1)
n+1 λ
n−2 = (−1)
n
(λ − 1)
n − λ
n−2
.
b) Considérons l'application F n :]1; +∞[ −→ R définie par :
λ → F n (λ) =
(−1)
n
χ An (λ)
λ n−2
=
(λ − 1)
n
λ n−2 − 1 = (λ − 1)
n λ
−n+2 − 1.
L'application F n est dérivable sur ]1; +∞[ et, pour tout λ ∈ ]1; +∞[ :
F
n (λ) = n(λ − 1)
n−1 λ
−n+2 + (−n + 2)(λ − 1)
n λ
−n+1
=
(λ − 1)
n−1
λ n−1
nλ + (−n + 2)(λ − 1)
=
(λ − 1)
n−1
λ n−1
2λ + (n − 2)
0.
D'autre part :
F n (λ) −→
λ −→ 1
−1 < 0
et
F n (λ) −→
λ −→ +∞
+∞ > 0.
On en déduit le tableau des variations de F n :
λ
1
+∞
F
n (λ)
+
F n (λ)
−1
+∞
D'après le théorème de la bijection monotone, on conclut que l'équation F n (λ) = 0,
d'inconnue λ ∈ ]1; +∞[, admet une solution et une seule, et donc χ An admet, dans
]1; +∞[, un zéro et un seul.
Finalement : Sp R (A n ) ∩ ]1; +∞[ est un singleton.