3.2 • Polynôme caractéristique
83
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu 1
Polynômes caractéristiques de AB et de B A
Soient n ∈ N
∗
, A,B ∈ M n (K ). Montrer : χ AB = χ B A .
On pourra utiliser l'existence de P,Q ∈ GL n (K ) telles que : B = PJ r Q, où r = rg (B), J r =
I r 0
0 0
.
Conseils
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.3 2) Prop. 2.
Deux matrices carrées semblables ont
le même polynôme caractéristique.
La définition de J r , en blocs, incite
à former aussi la décomposition de C en
blocs.
Déterminant d'une matrice trigonale par
blocs.
Pour une autre méthode, voir exercice
3.2.12 p. 86.
Solution
D'après le Cours de MPSI, en notant r = rg (B), il existe P,Q ∈ GL n (K ) telles
que : B = PJ r Q. On a alors :
AB = APJ r Q = Q
−1 (Q APJ r )Q et B A = PJ r Q A = P(J r Q AP)P
−1 ,
donc : χ AB = χ (Q AP)Jr et χ B A = χ Jr (Q AP) .
Notons C = Q AP. Il nous suffit donc de prouver : χ CJr = χ Jr C .
Décomposons en blocs, selon J r :
J r =
I r 0
0 0
,
C =
C 1 C 2
C 3 C 4
,
où : C 1 ∈ M r (K ), C 2 ∈ M r,n−r (K ), C 3 ∈ M n−r,r (K ), C 4 ∈ M n−r,n−r (K ).
On a :
CJ r =
C 1 C 2
C 3 C 4
I r 0
0 0
=
C 1 0
C 3 0
,
J r C =
I r 0
0 0
C 1 C 2
C 3 C 4
=
C 1 C 2
0
0
,
d'où :
χ CJr (λ) = det
C 1 − λI r
0
C 3
−λI n−r
= det (C 1 − λI r )(−λ)
n−r
χ Jr C (λ) = det
C 1 − λI r
C 2
0
−λI n−r
= det (C 1 − λI r )(−λ)
n−r .
On obtient χ CJr = χ Jr C et on conclut : χ AB = χ B A .
Exercice-type résolu 2
Un exemple de calcul de polynôme caractéristique
Soient n ∈ N tel que n 2 et A n =
1 0 . . . 0 1
. . .
. . .
. . . (0) 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . (1)
. . . 0
1 . . . . . . . . . 1
∈ M n (R).
a) Calculer χ An .
b) Montrer que Sp R (A n ) ∩ ]1; +∞[ est un singleton.
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu 1
Polynômes caractéristiques de AB et de B A
Soient n ∈ N
∗
, A,B ∈ M n (K ). Montrer : χ AB = χ B A .
On pourra utiliser l'existence de P,Q ∈ GL n (K ) telles que : B = PJ r Q, où r = rg (B), J r =
I r 0
0 0
.
Conseils
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.3 2) Prop. 2.
Deux matrices carrées semblables ont
le même polynôme caractéristique.
La définition de J r , en blocs, incite
à former aussi la décomposition de C en
blocs.
Déterminant d'une matrice trigonale par
blocs.
Pour une autre méthode, voir exercice
3.2.12 p. 86.
Solution
D'après le Cours de MPSI, en notant r = rg (B), il existe P,Q ∈ GL n (K ) telles
que : B = PJ r Q. On a alors :
AB = APJ r Q = Q
−1 (Q APJ r )Q et B A = PJ r Q A = P(J r Q AP)P
−1 ,
donc : χ AB = χ (Q AP)Jr et χ B A = χ Jr (Q AP) .
Notons C = Q AP. Il nous suffit donc de prouver : χ CJr = χ Jr C .
Décomposons en blocs, selon J r :
J r =
I r 0
0 0
,
C =
C 1 C 2
C 3 C 4
,
où : C 1 ∈ M r (K ), C 2 ∈ M r,n−r (K ), C 3 ∈ M n−r,r (K ), C 4 ∈ M n−r,n−r (K ).
On a :
CJ r =
C 1 C 2
C 3 C 4
I r 0
0 0
=
C 1 0
C 3 0
,
J r C =
I r 0
0 0
C 1 C 2
C 3 C 4
=
C 1 C 2
0
0
,
d'où :
χ CJr (λ) = det
C 1 − λI r
0
C 3
−λI n−r
= det (C 1 − λI r )(−λ)
n−r
χ Jr C (λ) = det
C 1 − λI r
C 2
0
−λI n−r
= det (C 1 − λI r )(−λ)
n−r .
On obtient χ CJr = χ Jr C et on conclut : χ AB = χ B A .
Exercice-type résolu 2
Un exemple de calcul de polynôme caractéristique
Soient n ∈ N tel que n 2 et A n =
1 0 . . . 0 1
. . .
. . .
. . . (0) 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . (1)
. . . 0
1 . . . . . . . . . 1
∈ M n (R).
a) Calculer χ An .
b) Montrer que Sp R (A n ) ∩ ]1; +∞[ est un singleton.