Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
82
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,−1) ⇐⇒ (A + I 3 )X = 0 ⇐⇒
9x + 12y + 10z = 0
−9x − 21y − 22z = 0
9x + 18y + 18z = 0
⇐⇒
x = −2y − 2z
3y + 4z = 0.
Donc SEP(A,−1) est la droite vectorielle engendrée par
2
−4
3
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,2) ⇐⇒
6x + 12y + 10z = 0
−9x − 24y − 22z = 0
9x + 18y + 15z = 0
⇐⇒
3x = −6y − 5z
6y + 7z = 0
.
Donc SEP(A,2) est la droite vectorielle engendrée par
4
−7
6
.
Définition
Soient f ∈ L(E) (resp. A ∈ M n (K )), λ 0 une valeur propre de f (resp. A). On appelle ordre de multiplicité de λ 0 l'ordre de multiplicité de λ 0 en tant que zéro du polynôme caractéristique χ f (resp. χ A ).
Exemple :
Dans l'exemple précédent, les vp sont −1 (simple) et 2 (double).
Remarque :
• Supposons K = C et soit f ∈ L(E) . Alors f admet au moins une vp et un − →
vp puisque,
d'après le théorème de d'Alembert , χ f admet au moins un zéro dans C .
• De même, si n 1 , toute matrice A de M n (C) admet au moins une vp et un − →
vp .
Proposition 5
Soient f ∈ L(E), λ 0 ∈ Sp K ( f ), ω 0 l'ordre de multiplicité de λ 0 ,
d 0 = dim
SEP( f,λ 0 )
. On a alors : 1 d 0 ω 0 .
Preuve
1) Puisque, par définition, SEP ( f,λ 0 ) = Ker( f − λ 0 e) = {0} , on a : d 0 1.
2) SEP( f,λ 0 ) admet au moins une base (e 1 ,. . . ,e d 0 ) et, d'après le théorème de la base incomplète, il
existe e d 0 +1 ,. . . ,e n ∈ E tels que B = (e 1 ,. . . ,e n ) soit une base de E .
Il existe C ∈ M d 0 ,n−d 0 (K ), B ∈ M n−d 0 (K ) telles que : Mat B ( f ) =
λ 0 I d 0 C
0
B
,
d'où : ∀λ ∈ K , χ f (λ) = det
(λ 0 − λ)I d 0
C
0
B − λI n−d 0
= (λ 0 − λ) d 0 det(B − λI n−d 0 ) = (λ 0 − λ) d 0 χ B (λ) .
Comme χ B est un polynôme, on déduit : (λ 0 − X)
d 0 |χ f , et donc d 0 ω 0 .
Corollaire
1) Soit f ∈ L(E). Pour toute vp simple λ 0 de f, la dimension de SEP( f,λ 0 ) vaut 1.
2) Soit A ∈ M n (K ). Pour toute vp simple λ 0 de A, la dimension de SEP(A,λ 0 )
vaut 1.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 5.3.4 Th.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Déterminant d’une matrice triangulaire
par blocs, cf. 1.4.2 2).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cas fréquent en pratique.
Exercices 3.2.1 à 3.2.13.
82
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,−1) ⇐⇒ (A + I 3 )X = 0 ⇐⇒
9x + 12y + 10z = 0
−9x − 21y − 22z = 0
9x + 18y + 18z = 0
⇐⇒
x = −2y − 2z
3y + 4z = 0.
Donc SEP(A,−1) est la droite vectorielle engendrée par
2
−4
3
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,2) ⇐⇒
6x + 12y + 10z = 0
−9x − 24y − 22z = 0
9x + 18y + 15z = 0
⇐⇒
3x = −6y − 5z
6y + 7z = 0
.
Donc SEP(A,2) est la droite vectorielle engendrée par
4
−7
6
.
Définition
Soient f ∈ L(E) (resp. A ∈ M n (K )), λ 0 une valeur propre de f (resp. A). On appelle ordre de multiplicité de λ 0 l'ordre de multiplicité de λ 0 en tant que zéro du polynôme caractéristique χ f (resp. χ A ).
Exemple :
Dans l'exemple précédent, les vp sont −1 (simple) et 2 (double).
Remarque :
• Supposons K = C et soit f ∈ L(E) . Alors f admet au moins une vp et un − →
vp puisque,
d'après le théorème de d'Alembert , χ f admet au moins un zéro dans C .
• De même, si n 1 , toute matrice A de M n (C) admet au moins une vp et un − →
vp .
Proposition 5
Soient f ∈ L(E), λ 0 ∈ Sp K ( f ), ω 0 l'ordre de multiplicité de λ 0 ,
d 0 = dim
SEP( f,λ 0 )
. On a alors : 1 d 0 ω 0 .
Preuve
1) Puisque, par définition, SEP ( f,λ 0 ) = Ker( f − λ 0 e) = {0} , on a : d 0 1.
2) SEP( f,λ 0 ) admet au moins une base (e 1 ,. . . ,e d 0 ) et, d'après le théorème de la base incomplète, il
existe e d 0 +1 ,. . . ,e n ∈ E tels que B = (e 1 ,. . . ,e n ) soit une base de E .
Il existe C ∈ M d 0 ,n−d 0 (K ), B ∈ M n−d 0 (K ) telles que : Mat B ( f ) =
λ 0 I d 0 C
0
B
,
d'où : ∀λ ∈ K , χ f (λ) = det
(λ 0 − λ)I d 0
C
0
B − λI n−d 0
= (λ 0 − λ) d 0 det(B − λI n−d 0 ) = (λ 0 − λ) d 0 χ B (λ) .
Comme χ B est un polynôme, on déduit : (λ 0 − X)
d 0 |χ f , et donc d 0 ω 0 .
Corollaire
1) Soit f ∈ L(E). Pour toute vp simple λ 0 de f, la dimension de SEP( f,λ 0 ) vaut 1.
2) Soit A ∈ M n (K ). Pour toute vp simple λ 0 de A, la dimension de SEP(A,λ 0 )
vaut 1.
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 5.3.4 Th.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Déterminant d’une matrice triangulaire
par blocs, cf. 1.4.2 2).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cas fréquent en pratique.
Exercices 3.2.1 à 3.2.13.