3.2 • Polynôme caractéristique
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Remarque : Si χ a est scindé sur K, χ a (λ) = (−1)
n
n
i=1
(λ − λ i ), alors :
n
i=1
λ i = tr(A) et
n
i=1
λ i = det(A).
Proposition 3
Deux matrices carrées semblables ont même polynôme caractéristique.
Autrement dit : ∀(A,B) ∈ (M n (K ))
2 , (A ∼ B ⇒ χ A = χ B ).
Preuve
Soient A,B ∈ M n (K ) telles que A ∼ B. Il existe P ∈ GL n (K ) telle que B = P −1 AP.
On a, pour tout λ de K :
χ B (λ) = det(P
−1 AP − λI n ) = det
P
−1 (A − λI n )P
=
det(P)
−1
det(A − λI n ) det(P) = χ A (λ).
᭿
Remarque : La réciproque de la Proposition précédente est fausse (si n 2), comme le
montre l'exemple A =
0 0
0 0
, B =
0 1
0 0
, dans lequel : A ∼ B et χ A = χ B = X 2 .
Proposition 4
1) ∀ f ∈ L(E), Sp K ( f ) = χ
−1
f ({0}).
2) ∀A ∈ M n (K ) , Sp K (A) = χ
−1
A ({0}) .
Preuve
1) Pour tout λ de K :
λ ∈ Sp K ( f ) ⇐⇒ Ker( f − λe) = {0} ⇐⇒ ( f − λe) non injective
⇐⇒ det( f − λe) = 0 ⇐⇒ χ f (λ) = 0.
2) Analogue à 1).
᭿
Corollaire
Le spectre d'un endomorphisme de E (dim(E) = n) ou d'une matrice de M n (K ) est
une partie finie de K ayant au plus n éléments.
La Proposition précédente permet souvent de déterminer les vp d'une matrice.
Exemple :
Calculer les vp et les − →
vp de A =


8
12
10
−9 −22 −22
9
18
17

 ∈ M 3 (R) .
On forme le polynôme caractéristique :
χ A (λ) =
8 − λ
12
10
−9
−22 − λ
−22
9
1 8
1 7− λ
= −(λ 3 − 3λ 2 + 4)
= −(λ + 1)(λ − 2) 2 ,
donc Sp R (A) = {−1,2} .
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.4 Déf. 1.
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χ A (λ) = χ B (λ) = λ
2 .
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(après développements)
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Autrement dit :les valeurs propres d'un
endomorphisme (resp. d'une matrice
carrée) sont les zéros du polynôme
caractéristique de cet endo-morphisme
(resp. matrice carrée).
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Autrement dit, une matrice carrée
d'ordre n ne peut avoir au plus que n
valeurs propres.
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