Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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Proposition-Définition 1
1) Soit A ∈ M n (K ). L'application K −→ K
λ −→ det(A − λI n )
est un polynôme, appelé
polynôme caractéristique de A, et noté χ A .
2) Soit f ∈ L(E). L'application K −→ K
λ −→ det( f − λe)
est un polynôme, appelé
polynôme caractéristique de f, et noté χ f .
Preuve
1) En notant A = (a i j ) i j , il est clair, par développement du déterminant, que l'application
λ −→ det(A − λI n ) =
a 11 − λ
a 12
. . .
a 1n
a 21
a 22 − λ ...
a 2n
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1
a n2
. . . a nn − λ
est un polynôme.
2) Le K-ev E admet au moins une base B et, en notant A = Mat B ( f ), on a :
∀λ ∈ K , det( f − λe) = det(A − λI n ),
ce qui montre, compte tenu de 1), que λ −→ det( f − λe) est un polynôme.
Remarques :
1) Soient f ∈ L(E) , B une base de E , A = Mat B ( f ). On a : χ f = χ A .
2) Le lecteur pourra rencontrer dans d'autres ouvrages une définition légèrement différente :
χ f = det(λe − f ), qui vaut det( f − λe) à un coefficient multiplicatif (−1)
n près.
3) Soient α ∈ K, h α : E −→ E
x −→ αx
l'homothétie de rapport α .
On a : ∀λ ∈ K , χ hα (λ) = (α − λ)
n .
Proposition 2
Soient n ∈ N − {0,1} , A ∈ M n (K ). On a :
∀λ ∈ K , χ A (λ) = (−1)
n
λ
n
+ (−1)
n−1 tr(A)λ
n−1
+ . . . + det(A).
En particulier, χ A est de degré n.
Preuve
Notons A = (a i j ) i j . Soient λ ∈ K et, pour tout (i, j) de {1,. . . ,n} 2 : α i j =
a ii − λ si i = j
a i j
si i = j
.
D'après § 2.5, Déf. (définition du déterminant d'une matrice) :
χ A (λ) =
α 11 . . . α 1n
. . .
. . .
α n1 . . . α nn
=
σ ∈S n
ε(σ )α σ (1)1 . . . α σ (n)n .
Pour toute σ de S n − {Id {1,...,n} }, le terme ε(σ )α σ (1)1 . . . α σ (n)n est un polynôme (en λ) de degré
n − 2.
D'autre part :
α 11 . . . α nn = (a 11 − λ) . . . (a nn − λ) = (−λ)
n + (a 11 + . . . + a nn )(−λ)
n−1 + . . . .
Ceci montre que χ A est de degré n, et que les termes en λ n et λ n−1 sont respectivement : (−1) n λ n et
(−1) n−1 tr(A)λ n−1 .
Enfin, comme det(A) = χ A (0), le terme constant de χ A est det(A).
Ne pas confondre la lettre grecque χ,
prononcée « ki »,et la lettre X qui désigne
l'indéterminée pour les polynômes.
Le déterminant est une somme de
produits, au signe près, d’éléments du
tableau.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Ainsi, dans le cadre de la dimension
finie, on pourra choisir le point de vue
« endomorphisme » ou le point de vue
matriciel.
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Cas particulier d’une homothétie.
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Puisque σ est différente de l'identité, il
existe au moins deux entiers distincts
i, j de {1,…,n}tels que :
σ (i) = i et σ ( j) = j.
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Proposition-Définition 1
1) Soit A ∈ M n (K ). L'application K −→ K
λ −→ det(A − λI n )
est un polynôme, appelé
polynôme caractéristique de A, et noté χ A .
2) Soit f ∈ L(E). L'application K −→ K
λ −→ det( f − λe)
est un polynôme, appelé
polynôme caractéristique de f, et noté χ f .
Preuve
1) En notant A = (a i j ) i j , il est clair, par développement du déterminant, que l'application
λ −→ det(A − λI n ) =
a 11 − λ
a 12
. . .
a 1n
a 21
a 22 − λ ...
a 2n
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1
a n2
. . . a nn − λ
est un polynôme.
2) Le K-ev E admet au moins une base B et, en notant A = Mat B ( f ), on a :
∀λ ∈ K , det( f − λe) = det(A − λI n ),
ce qui montre, compte tenu de 1), que λ −→ det( f − λe) est un polynôme.
Remarques :
1) Soient f ∈ L(E) , B une base de E , A = Mat B ( f ). On a : χ f = χ A .
2) Le lecteur pourra rencontrer dans d'autres ouvrages une définition légèrement différente :
χ f = det(λe − f ), qui vaut det( f − λe) à un coefficient multiplicatif (−1)
n près.
3) Soient α ∈ K, h α : E −→ E
x −→ αx
l'homothétie de rapport α .
On a : ∀λ ∈ K , χ hα (λ) = (α − λ)
n .
Proposition 2
Soient n ∈ N − {0,1} , A ∈ M n (K ). On a :
∀λ ∈ K , χ A (λ) = (−1)
n
λ
n
+ (−1)
n−1 tr(A)λ
n−1
+ . . . + det(A).
En particulier, χ A est de degré n.
Preuve
Notons A = (a i j ) i j . Soient λ ∈ K et, pour tout (i, j) de {1,. . . ,n} 2 : α i j =
a ii − λ si i = j
a i j
si i = j
.
D'après § 2.5, Déf. (définition du déterminant d'une matrice) :
χ A (λ) =
α 11 . . . α 1n
. . .
. . .
α n1 . . . α nn
=
σ ∈S n
ε(σ )α σ (1)1 . . . α σ (n)n .
Pour toute σ de S n − {Id {1,...,n} }, le terme ε(σ )α σ (1)1 . . . α σ (n)n est un polynôme (en λ) de degré
n − 2.
D'autre part :
α 11 . . . α nn = (a 11 − λ) . . . (a nn − λ) = (−λ)
n + (a 11 + . . . + a nn )(−λ)
n−1 + . . . .
Ceci montre que χ A est de degré n, et que les termes en λ n et λ n−1 sont respectivement : (−1) n λ n et
(−1) n−1 tr(A)λ n−1 .
Enfin, comme det(A) = χ A (0), le terme constant de χ A est det(A).
Ne pas confondre la lettre grecque χ,
prononcée « ki »,et la lettre X qui désigne
l'indéterminée pour les polynômes.
Le déterminant est une somme de
produits, au signe près, d’éléments du
tableau.
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