3.2 • Polynôme caractéristique
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3.2 Polynôme caractéristique
Dans ce § 3.2, K désigne un corps infini (c'est le cas si K est un sous-corps de C ). On peut donc
identifier polynôme (de K [X]) et fonction polynomiale (de K dans K), cf. Algèbre PCSI-PTSI,
5.1.7 Rem. Selon l'usage, la variable est ici notée λ, de sorte que l'on confond un polynôme P
de K [X] et l'application polynomiale
P : K −→ K
λ −→ P(λ)
.
Dans ce § 3.2, E désigne un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1. On note e = Id E .
f (P) = X
2 P
− (a + b − 1)XP
+ ab P .
a) Vérifier : f ∈ L(E) .
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de f.
3.1.9 Soient n ∈ N ∗ , E = R n [X]; pour tout P de E , on
note :
f (P) = X(1 − X)P + nXP .
a) Vérifier : f ∈ L(E) .
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de f.
3.1.10 On note c 0 le C -ev des suites complexes convergeant vers 0, et f l'endomorphisme de c 0 qui, à toute suite
(x n ) n∈N de c 0 associe la suite (y n ) n∈N définie par :
y 0 = 0
∀n ∈ N ∗ , y n = x n−1
.
Montrer : Sp C ( f ) = ∅.
3.1.11 Soient E le C -ev des suites complexes convergentes, et f l'endomorphisme de E qui, à toute suite
(x n ) n∈N de E associe la suite (y n ) n∈N définie par :
∀n ∈ N, y n = x n+1 .
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
3.1.12 Soit E = R N
∗ . Pour tout u = (u n ) n∈N ∗ de E , on
note T (u) = v = (v n ) n∈N ∗ la suite définie par :
∀n ∈ N
∗ , v n =
1
n
(u 1 + . . . + u n ).
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de T.
3.1.13 Soit E = C
0
([−π; π],R) . Pour toute f de E , on
note :
u( f ) : [−π; π] −→ R
x −→
π
−π
cos (x − t) f (t) dt
et
v( f ) : [−π; π] −→ R
x −→
π
−π
sin (x − t) f (t) dt
.
a) Vérifier que u et v sont des endomorphismes de E .
b) Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de u
et v.
3.1.14 Soient n ∈ N
∗ , A,B ∈ M n (K ) ; montrer :
Sp K (AB) = Sp K (B A).
Pour un résultat plus général, voir plus loin exercice 3.2.12
p. 86.
3.1.15 a) Disques de Gershgorin
Soient n ∈ N
∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n (C) . Démontrer :
Sp C (A) ⊂
n
i=1
B
a ii ,
1 jn
j =i
|a i j |
(où, pour (a,r) ∈ C×R + , B
(a,r) ={z ∈ C; |z − a| r} ).
Les B
a ii ,
1 jn
j =i
|a i j |
sont appelés les disques de
Gershgorin de A.
b) Théorème de Hadamard
Soient n ∈ N
∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n (C) telle que :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, |a ii | >
1 jn
j =i
|a i j |
(on dit que A est à diagonale strictement dominante).
Démontrer :
A ∈ GL n (C).
En fait,l'étude pourrait être menée pour
un corps K quel-conque (fini ou infini),
sans avoir à identifier polynôme P et
fonction polynomiale
P ,mais au prix de
la considération et de l'étude des matrices
et déterminants à coefficients dans
l'anneau K[X] (ou dans le corps K(X)),ce
qui dépasse le cadre de cet ouvrage.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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Gé
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3.2 Polynôme caractéristique
Dans ce § 3.2, K désigne un corps infini (c'est le cas si K est un sous-corps de C ). On peut donc
identifier polynôme (de K [X]) et fonction polynomiale (de K dans K), cf. Algèbre PCSI-PTSI,
5.1.7 Rem. Selon l'usage, la variable est ici notée λ, de sorte que l'on confond un polynôme P
de K [X] et l'application polynomiale
P : K −→ K
λ −→ P(λ)
.
Dans ce § 3.2, E désigne un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1. On note e = Id E .
f (P) = X
2 P
− (a + b − 1)XP
+ ab P .
a) Vérifier : f ∈ L(E) .
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de f.
3.1.9 Soient n ∈ N ∗ , E = R n [X]; pour tout P de E , on
note :
f (P) = X(1 − X)P + nXP .
a) Vérifier : f ∈ L(E) .
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de f.
3.1.10 On note c 0 le C -ev des suites complexes convergeant vers 0, et f l'endomorphisme de c 0 qui, à toute suite
(x n ) n∈N de c 0 associe la suite (y n ) n∈N définie par :
y 0 = 0
∀n ∈ N ∗ , y n = x n−1
.
Montrer : Sp C ( f ) = ∅.
3.1.11 Soient E le C -ev des suites complexes convergentes, et f l'endomorphisme de E qui, à toute suite
(x n ) n∈N de E associe la suite (y n ) n∈N définie par :
∀n ∈ N, y n = x n+1 .
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
3.1.12 Soit E = R N
∗ . Pour tout u = (u n ) n∈N ∗ de E , on
note T (u) = v = (v n ) n∈N ∗ la suite définie par :
∀n ∈ N
∗ , v n =
1
n
(u 1 + . . . + u n ).
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de T.
3.1.13 Soit E = C
0
([−π; π],R) . Pour toute f de E , on
note :
u( f ) : [−π; π] −→ R
x −→
π
−π
cos (x − t) f (t) dt
et
v( f ) : [−π; π] −→ R
x −→
π
−π
sin (x − t) f (t) dt
.
a) Vérifier que u et v sont des endomorphismes de E .
b) Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de u
et v.
3.1.14 Soient n ∈ N
∗ , A,B ∈ M n (K ) ; montrer :
Sp K (AB) = Sp K (B A).
Pour un résultat plus général, voir plus loin exercice 3.2.12
p. 86.
3.1.15 a) Disques de Gershgorin
Soient n ∈ N
∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n (C) . Démontrer :
Sp C (A) ⊂
n
i=1
B
a ii ,
1 jn
j =i
|a i j |
(où, pour (a,r) ∈ C×R + , B
(a,r) ={z ∈ C; |z − a| r} ).
Les B
a ii ,
1 jn
j =i
|a i j |
sont appelés les disques de
Gershgorin de A.
b) Théorème de Hadamard
Soient n ∈ N
∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n (C) telle que :
∀i ∈ {1,. . . ,n}, |a ii | >
1 jn
j =i
|a i j |
(on dit que A est à diagonale strictement dominante).
Démontrer :
A ∈ GL n (C).
En fait,l'étude pourrait être menée pour
un corps K quel-conque (fini ou infini),
sans avoir à identifier polynôme P et
fonction polynomiale
P ,mais au prix de
la considération et de l'étude des matrices
et déterminants à coefficients dans
l'anneau K[X] (ou dans le corps K(X)),ce
qui dépasse le cadre de cet ouvrage.
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