Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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Les méthodes à retenir
Éléments propres
• Pour manipuler valeur propre et vecteur propre, on utilisera souvent la définition : f (x) = λx et x = 0
(ex 3.1.1).
• Pour simplifier dans une égalité matricielle par A − αI n , il suffit de voir que α /
∈ Sp K (A) (ex. 3.1.2).
• Pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'un endomorphisme f d'un K-ev E (ex. 3.1.4 à
3.1.13), en particulier lorsque E n'est pas de dimension finie, résoudre
f (x) = λx
x = 0
, d'inconnue (λ,x) ∈ K × E.
On pourra essayer de raisonner par équivalences logiques successives, ou par analyse et synthèse.
Lorsque E est un espace vectoriel de polynômes, lors de la résolution de
f (P) = λP
P = 0
, il pourra être utile d'envisager le degré de P (ex. 3.1.5), ou des diviseurs simples de P (ex. 3.1.4) ; on pourra quelquefois faire intervenir
une équation différentielle (ex. 3.1.9).
Dans certains cas simple, le système
f (x) = λx
x = 0
, peut admettre des solutions évidentes (ex. 3.1.6, 3.1.8) ; il
restera alors à voir si ce sont les seules.
Si l'image de f est particulièrement simple, on pourra remarquer que, pour tout (λ,x) ∈ K × E tel que f (x) = λx,
on a : x ∈ Ker( f ) (si λ = 0), ou x ∈ Im( f ) (si λ = 0) , car alors x =
1
λ
f (x).
• Pour étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice A ∈ M n (C) dont les coefficients interviennent explicitement (ex. 3.1.15), on traduira l'égalité AX = λX (de colonnes) par un système d'égalités portant sur les coefficients, et si nécessaire, on fera intervenir la notion de module d'un nombre complexe, souvent à
l'aide d'inégalités.
• Pour montrer qu'une matrice carrée A est inversible (ex. 3.1.15 b)), on peut utiliser l'équivalence logique :
A ∈ GL n (K ) ⇐⇒ 0 /
∈ Sp K (A) .
Voir aussi la rubrique « Les méthodes à retenir » portant sur le polynôme caractéristique p. 85.
Exercices
3.1.1
Soient E un K-ev, f,g ∈ L(E) tels que
g ◦ f = f ◦ g. Montrer que tout sous-espace propre pour
f est stable par g, et que Ker( f ) et Im( f ) sont stables
par g.
3.1.2 Soient n, p ∈ N
∗ , A ∈ M n (C) telle que A p = I n , ω
une racine p ème de 1 dans C telle que ω
−1
∈ Sp C (A) .
Montrer :
p−1
k=0
ω
k A
k = 0.
3.1.3 Soient n ∈ N − {0,1}, A,B ∈ M n (C).
Peut-on affirmer que AB et B A ont au moins un vecteur
propre commun ?
3.1.4 Soient α ∈ C, E le C -ev des polynômes de C[X] de
degré n, f : E −→ E
P −→ ((X + α)P)
, qui est un endomorphisme de E . Déterminer les valeurs propres et vecteurs
propres de f.
3.1.5 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs
propres de l'endomorphisme f de R[X] défini par :
∀P ∈ R[X], f (P) = (X + 1)(X − 3)P
− XP .
3.1.6 Déterminer valeurs propres, vecteurs propres,
noyau, image de l'endomorphisme f de R[X] défini par :
∀P ∈ R[X], f (P) = X
P(X) − P(X − 1)
.
3.1.7 Soient E = K [X] ,
f : E −→ E
P −→ XP
, F : L(E) −→ L(E)
g −→ f ◦ g − g ◦ f
.
Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de F .
3.1.8 Soit E = R[X], (a,b) ∈ R
2 tel que a < −b ; pour
tout P de E , on note :
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Les méthodes à retenir
Éléments propres
• Pour manipuler valeur propre et vecteur propre, on utilisera souvent la définition : f (x) = λx et x = 0
(ex 3.1.1).
• Pour simplifier dans une égalité matricielle par A − αI n , il suffit de voir que α /
∈ Sp K (A) (ex. 3.1.2).
• Pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'un endomorphisme f d'un K-ev E (ex. 3.1.4 à
3.1.13), en particulier lorsque E n'est pas de dimension finie, résoudre
f (x) = λx
x = 0
, d'inconnue (λ,x) ∈ K × E.
On pourra essayer de raisonner par équivalences logiques successives, ou par analyse et synthèse.
Lorsque E est un espace vectoriel de polynômes, lors de la résolution de
f (P) = λP
P = 0
, il pourra être utile d'envisager le degré de P (ex. 3.1.5), ou des diviseurs simples de P (ex. 3.1.4) ; on pourra quelquefois faire intervenir
une équation différentielle (ex. 3.1.9).
Dans certains cas simple, le système
f (x) = λx
x = 0
, peut admettre des solutions évidentes (ex. 3.1.6, 3.1.8) ; il
restera alors à voir si ce sont les seules.
Si l'image de f est particulièrement simple, on pourra remarquer que, pour tout (λ,x) ∈ K × E tel que f (x) = λx,
on a : x ∈ Ker( f ) (si λ = 0), ou x ∈ Im( f ) (si λ = 0) , car alors x =
1
λ
f (x).
• Pour étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice A ∈ M n (C) dont les coefficients interviennent explicitement (ex. 3.1.15), on traduira l'égalité AX = λX (de colonnes) par un système d'égalités portant sur les coefficients, et si nécessaire, on fera intervenir la notion de module d'un nombre complexe, souvent à
l'aide d'inégalités.
• Pour montrer qu'une matrice carrée A est inversible (ex. 3.1.15 b)), on peut utiliser l'équivalence logique :
A ∈ GL n (K ) ⇐⇒ 0 /
∈ Sp K (A) .
Voir aussi la rubrique « Les méthodes à retenir » portant sur le polynôme caractéristique p. 85.
Exercices
3.1.1
Soient E un K-ev, f,g ∈ L(E) tels que
g ◦ f = f ◦ g. Montrer que tout sous-espace propre pour
f est stable par g, et que Ker( f ) et Im( f ) sont stables
par g.
3.1.2 Soient n, p ∈ N
∗ , A ∈ M n (C) telle que A p = I n , ω
une racine p ème de 1 dans C telle que ω
−1
∈ Sp C (A) .
Montrer :
p−1
k=0
ω
k A
k = 0.
3.1.3 Soient n ∈ N − {0,1}, A,B ∈ M n (C).
Peut-on affirmer que AB et B A ont au moins un vecteur
propre commun ?
3.1.4 Soient α ∈ C, E le C -ev des polynômes de C[X] de
degré n, f : E −→ E
P −→ ((X + α)P)
, qui est un endomorphisme de E . Déterminer les valeurs propres et vecteurs
propres de f.
3.1.5 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs
propres de l'endomorphisme f de R[X] défini par :
∀P ∈ R[X], f (P) = (X + 1)(X − 3)P
− XP .
3.1.6 Déterminer valeurs propres, vecteurs propres,
noyau, image de l'endomorphisme f de R[X] défini par :
∀P ∈ R[X], f (P) = X
P(X) − P(X − 1)
.
3.1.7 Soient E = K [X] ,
f : E −→ E
P −→ XP
, F : L(E) −→ L(E)
g −→ f ◦ g − g ◦ f
.
Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de F .
3.1.8 Soit E = R[X], (a,b) ∈ R
2 tel que a < −b ; pour
tout P de E , on note :