3.2 • Polynôme caractéristique
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Polynôme caractéristique
• Pour calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée, on peut essayer de se ramener au cas, plus
facile, de matrices triangulaires par blocs (ex 3.2.1, 3.2.4 à 3.2.6, 3.2.14).
• Pour étudier les valeurs propres réelles d’une matrice carrée A à coefficients réels, le polynôme caractéristique χ A étant un polynôme à coefficients réels, donc une application continue de R dans R, on peut utiliser des
arguments issus de l'analyse, en particulier le théorème des valeurs intermédiaires (ex. 3.2.2).
• Pour calculer le polynôme caractéristique d'une matrice-compagnon, on peut développer par rapport à une
rangée et faire apparaître une relation de récurrence, ou bien effectuer une transformation du type
C 1 ← C 1 + λC 2 + . . . + λ n−1 C n (ex. 3.2.11).
• Rappelons que la formation du polynôme caractéristique n'est pas toujours indispensable pour la recherche des
valeurs propres.
3.2.1 Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E) , F
un sev de E stable par f, f : F −→ F l'endomorphisme
induit par f sur F . Montrer : χ f |χ f .
3.2.2 Soient E un R -ev de dimension finie impaire,
f ∈ L(E) . Montrer qu'il existe au moins une droite et un
hyperplan de E stables par f.
3.2.3 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ),
χ A = (−1) n X n + . . . + α n−1 X + α n le polynôme caractéristique de A. Montrer :
α n−1 = −tr(com(A)).
3.2.4 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ ,
A i ∈ M n i (K ) (1 i N ), A =
A 1
0
. . .
0
A N
.
Montrer :
χ A =
N
k=1
χ A k .
3.2.5 Soient n, p ∈ N ∗ ,B ∈ M n, p (K ), C ∈ M p,n (K ) .
Montrer : X p χ
0 B
C 0
= (−1) n X n χ C B (X 2 ).
3.2.6 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ),
M =
0 A
A 0
∈ M 2n (K ).
Exprimer χ M en fonction de χ A .
3.2.7 Montrer : ∀A ∈ M n (K ), χt A = χ A .
En particulier :
∀A ∈ M n (K ), Sp K ( t A) = Sp K (A).
3.2.8 Soient n ∈ N ∗ , f ∈ L(R n ) tel que :
∀x ∈ (R + ) n ,
f (x) ∈ (R + ) n et || f (x)|| 1 = ||x|| 1
,
où ||(x 1 ,. . . ,x n )|| 1 =
n
k=1
|x k | .
Montrer : 1 ∈ Sp R ( f ).
3.2.9 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R), λ ∈ Sp R (A), X (resp. Y)
un − →
vp pour A (resp. t A) associé à la valeur propre λ de A
(cf. exercice 3.2.7). On suppose :
• les composantes de Y (dans la base canonique)
sont toutes > 0
• dim(SEP(A,λ)) = 1.
Soient µ ∈ Sp R (A), Z ∈ SEP(A,µ) − {0}; on suppose
que les composantes de Z sont toutes 0.
Montrer que Z est colinéaire à X et que µ = λ .
3.2.10 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n+1 (C) − GL n+1 (C) ,
λ 1 ,. . . ,λ n ,λ n+1 = 0 les valeurs propres de A.
On suppose que la 1 ère ligne de A est combinaison linéaire des autres, et on note A =
α L
C B
,où α ∈ C,
C ∈ M n,1 (C), L ∈ M 1,n (C), B ∈ M n (C).
a) Montrer qu'il existe X ∈ M n,1 (C) tel que :
α = t XC et L = t X B.
b) Soit X ∈ M n,1 (C) satisfaisant a) ; montrer que
C t X + B a pour valeurs propres λ 1 ,. . . ,λ n .
3.2.11 Matrice-compagnon
a) Soient n ∈ N ∗ , (a 0 ,. . . ,a n−1 ) ∈ K n ,
A =
0
1
0
❜ ❜
0 0
1
a 0 . . . a n−2 a n−1
∈ M n (K ) .
Exercices
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Les méthodes à retenir
Polynôme caractéristique
• Pour calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée, on peut essayer de se ramener au cas, plus
facile, de matrices triangulaires par blocs (ex 3.2.1, 3.2.4 à 3.2.6, 3.2.14).
• Pour étudier les valeurs propres réelles d’une matrice carrée A à coefficients réels, le polynôme caractéristique χ A étant un polynôme à coefficients réels, donc une application continue de R dans R, on peut utiliser des
arguments issus de l'analyse, en particulier le théorème des valeurs intermédiaires (ex. 3.2.2).
• Pour calculer le polynôme caractéristique d'une matrice-compagnon, on peut développer par rapport à une
rangée et faire apparaître une relation de récurrence, ou bien effectuer une transformation du type
C 1 ← C 1 + λC 2 + . . . + λ n−1 C n (ex. 3.2.11).
• Rappelons que la formation du polynôme caractéristique n'est pas toujours indispensable pour la recherche des
valeurs propres.
3.2.1 Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E) , F
un sev de E stable par f, f : F −→ F l'endomorphisme
induit par f sur F . Montrer : χ f |χ f .
3.2.2 Soient E un R -ev de dimension finie impaire,
f ∈ L(E) . Montrer qu'il existe au moins une droite et un
hyperplan de E stables par f.
3.2.3 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ),
χ A = (−1) n X n + . . . + α n−1 X + α n le polynôme caractéristique de A. Montrer :
α n−1 = −tr(com(A)).
3.2.4 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ ,
A i ∈ M n i (K ) (1 i N ), A =
A 1
0
. . .
0
A N
.
Montrer :
χ A =
N
k=1
χ A k .
3.2.5 Soient n, p ∈ N ∗ ,B ∈ M n, p (K ), C ∈ M p,n (K ) .
Montrer : X p χ
0 B
C 0
= (−1) n X n χ C B (X 2 ).
3.2.6 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ),
M =
0 A
A 0
∈ M 2n (K ).
Exprimer χ M en fonction de χ A .
3.2.7 Montrer : ∀A ∈ M n (K ), χt A = χ A .
En particulier :
∀A ∈ M n (K ), Sp K ( t A) = Sp K (A).
3.2.8 Soient n ∈ N ∗ , f ∈ L(R n ) tel que :
∀x ∈ (R + ) n ,
f (x) ∈ (R + ) n et || f (x)|| 1 = ||x|| 1
,
où ||(x 1 ,. . . ,x n )|| 1 =
n
k=1
|x k | .
Montrer : 1 ∈ Sp R ( f ).
3.2.9 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R), λ ∈ Sp R (A), X (resp. Y)
un − →
vp pour A (resp. t A) associé à la valeur propre λ de A
(cf. exercice 3.2.7). On suppose :
• les composantes de Y (dans la base canonique)
sont toutes > 0
• dim(SEP(A,λ)) = 1.
Soient µ ∈ Sp R (A), Z ∈ SEP(A,µ) − {0}; on suppose
que les composantes de Z sont toutes 0.
Montrer que Z est colinéaire à X et que µ = λ .
3.2.10 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n+1 (C) − GL n+1 (C) ,
λ 1 ,. . . ,λ n ,λ n+1 = 0 les valeurs propres de A.
On suppose que la 1 ère ligne de A est combinaison linéaire des autres, et on note A =
α L
C B
,où α ∈ C,
C ∈ M n,1 (C), L ∈ M 1,n (C), B ∈ M n (C).
a) Montrer qu'il existe X ∈ M n,1 (C) tel que :
α = t XC et L = t X B.
b) Soit X ∈ M n,1 (C) satisfaisant a) ; montrer que
C t X + B a pour valeurs propres λ 1 ,. . . ,λ n .
3.2.11 Matrice-compagnon
a) Soient n ∈ N ∗ , (a 0 ,. . . ,a n−1 ) ∈ K n ,
A =
0
1
0
❜ ❜
0 0
1
a 0 . . . a n−2 a n−1
∈ M n (K ) .
Exercices