Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
86
3.3 Diagonalisabilité
Dans ce § 3.3, E désigne un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1.
Définition
1) Soit f ∈ L(E). On dit que f est diagonalisable si et seulement s'il existe une base
B de E telle que Mat B ( f ) soit diagonale.
2) Soit A ∈ M n (K ). On dit que A est diagonalisable si et seulement s'il existe une
matrice diagonale D de M n (K ) telle que A soit semblable à D.
Autrement dit, A est diagonalisable si et seulement si :
∃P ∈ GL n (K ), ∃D ∈ D n (K ), A = P D P
−1 .
Si A ∈ M n (K ) est diagonalisable, on appelle diagonalisation de A la donnée de
P,D,(et P −1 ) telles que :
P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ), A = P D P
−1 .
Si A ∈ M n (K ) est diagonalisable, diagonaliser A c'est déterminer P, D, (et P −1 ) telles que :
P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ), A = P D P
−1 .
Au lieu de diagonalisation, on dit aussi : réduction à la forme diagonale.
Remarques :
1) Soient f ∈ L(E) , B une base de E , A = Mat B ( f ). Alors f est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable. En effet :
• Si f est diagonalisable, il existe une base B de E telle que la matrice D de f dans B soit diagonale et, en notant P = Pass(B,B ), on a alors A = P D P −1 (formule de changement de
base pour un endomorphisme, cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.4 Prop. 1)
• Si A est diagonalisable, il existe P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ) telles que A = P D P −1 et donc
D est la matrice de f dans la base B de E définie par Pass(B,B ) = P.
Montrer :
χ A = (−1)
n
X
n −
n−1
k=0
a k X
k
.
On dit que A est la matrice-compagnon du polynôme (unitaire) X
n −
n−1
k=0
a k X
k .
b) Soient n ∈ N ∗ , (α 0 ,. . . ,α n ) ∈ K n+1 , P =
n
k=0
α k X
k .
CNS pour qu'il existe A ∈ M n (K ) telle que χ A = P ?
3.2.12 Soient n, p ∈ N ∗ A ∈ M n, p (K ), B ∈ M p,n (K ) .
Démontrer :
(−X) n χ B A = (−X) p χ AB .
On pourra essayer d’obtenir deux égalités portant sur des
matrices de M n+ p (K ) décomposées en blocs, faisant intervenir AB − λI n et B A − λI p .
En particulier :
∀(A,B) ∈ (M n (K )) 2 , χ AB = χ B A .
3.2.13 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C),
U,V ∈ M n,1 (C), B =
A
−AV
− t U A t U AV
.
a) Montrer : 0 ∈ Sp C (B) .
b) Montrer :
α) det(A) = 0 ⇒ X 2 |χ B
β)
X 2 |χ B
t U V = −1
⇒ det(A) = 0 .
Sauf exception, il n'y a pas unicité d'une
diagonalisation d'une matrice
diagonalisable ; autrement dit, P et D
ne sont pas uniques.
Ainsi dans le cadre de la dimension finie,
on pourra choisir le point de vue
« endomorphisme » ou le point de vue
matriciel.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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3.3 Diagonalisabilité
Dans ce § 3.3, E désigne un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1.
Définition
1) Soit f ∈ L(E). On dit que f est diagonalisable si et seulement s'il existe une base
B de E telle que Mat B ( f ) soit diagonale.
2) Soit A ∈ M n (K ). On dit que A est diagonalisable si et seulement s'il existe une
matrice diagonale D de M n (K ) telle que A soit semblable à D.
Autrement dit, A est diagonalisable si et seulement si :
∃P ∈ GL n (K ), ∃D ∈ D n (K ), A = P D P
−1 .
Si A ∈ M n (K ) est diagonalisable, on appelle diagonalisation de A la donnée de
P,D,(et P −1 ) telles que :
P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ), A = P D P
−1 .
Si A ∈ M n (K ) est diagonalisable, diagonaliser A c'est déterminer P, D, (et P −1 ) telles que :
P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ), A = P D P
−1 .
Au lieu de diagonalisation, on dit aussi : réduction à la forme diagonale.
Remarques :
1) Soient f ∈ L(E) , B une base de E , A = Mat B ( f ). Alors f est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable. En effet :
• Si f est diagonalisable, il existe une base B de E telle que la matrice D de f dans B soit diagonale et, en notant P = Pass(B,B ), on a alors A = P D P −1 (formule de changement de
base pour un endomorphisme, cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.4 Prop. 1)
• Si A est diagonalisable, il existe P ∈ GL n (K ), D ∈ D n (K ) telles que A = P D P −1 et donc
D est la matrice de f dans la base B de E définie par Pass(B,B ) = P.
Montrer :
χ A = (−1)
n
X
n −
n−1
k=0
a k X
k
.
On dit que A est la matrice-compagnon du polynôme (unitaire) X
n −
n−1
k=0
a k X
k .
b) Soient n ∈ N ∗ , (α 0 ,. . . ,α n ) ∈ K n+1 , P =
n
k=0
α k X
k .
CNS pour qu'il existe A ∈ M n (K ) telle que χ A = P ?
3.2.12 Soient n, p ∈ N ∗ A ∈ M n, p (K ), B ∈ M p,n (K ) .
Démontrer :
(−X) n χ B A = (−X) p χ AB .
On pourra essayer d’obtenir deux égalités portant sur des
matrices de M n+ p (K ) décomposées en blocs, faisant intervenir AB − λI n et B A − λI p .
En particulier :
∀(A,B) ∈ (M n (K )) 2 , χ AB = χ B A .
3.2.13 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C),
U,V ∈ M n,1 (C), B =
A
−AV
− t U A t U AV
.
a) Montrer : 0 ∈ Sp C (B) .
b) Montrer :
α) det(A) = 0 ⇒ X 2 |χ B
β)
X 2 |χ B
t U V = −1
⇒ det(A) = 0 .
Sauf exception, il n'y a pas unicité d'une
diagonalisation d'une matrice
diagonalisable ; autrement dit, P et D
ne sont pas uniques.
Ainsi dans le cadre de la dimension finie,
on pourra choisir le point de vue
« endomorphisme » ou le point de vue
matriciel.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
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