3.3 • Diagonalisabilité
87
2) Il existe des matrices diagonalisables et des matrices non diagonalisables (cf. plus loin p. 100).
3) Toute matrice diagonale est diagonalisable.
4) Si une matrice A de M n (K ) est diagonalisable et n’a qu’une seule valeur propre α ∈ K,
alors il existe P ∈ GL n (K ) telle que A = P(αI n )P
−1 et donc A = αI n .
Proposition
Soit f ∈ L(E). Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f est diagonalisable
(ii) Il existe une base de E formée de − →
vp pour f
(iii) La somme des SEP pour f est égale à E
(iv) La somme des dimensions des SEP pour f est égale à dim(E).
Preuve
(i) ⇒ (ii)
Supposons f diagonalisable.
Il existe une base B = (e 1 ,. . . ,e n ) de E telle que Mat B ( f ) soit diagonale ; il existe donc
(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ K n tel que : Mat B ( f ) = diag (λ 1 ,. . . ,λ n ) .
Comme : ∀i ∈ {1,. . . ,n},
f (e i ) = λ i e i
e i = 0
,
B = (e 1 ,. . . ,e n ) est une base de E formée de − →
vp pour f.
(ii) ⇒ (iii)
Supposons qu'il existe une base B = (e 1 ,. . . ,e n ) formée de − →
vp pour f.
Il existe donc (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ K n tel que : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, f (e i ) = λ i e i .
Il est clair que chaque λ i est une vp de f (un − →
vp associé est e i ). Notons = {λ i ; 1 i n}. Alors :
λ∈Sp K ( f )
Ker( f − λe) ⊃
λ∈
Ker( f − λe) =
n
i=1
Ker( f − λ i e) ⊃
n
i=1
K e i = E,
donc la somme des SEP pour f, qui est
λ∈Sp K ( f )
Ker( f − λe) est égale à E .
(iii) ⇒ (iv)
Supposons que la somme des SEP pour f soit égale à E . Comme cette somme est directe (cf. 3.1 Prop. 3
p. 76), on a alors :
λ∈Sp K ( f )
dim(SEP( f,λ)) = dim
λ∈Sp K ( f )
SEP( f,λ)
= dim(E).
(iv) ⇒ (i)
Supposons que la somme des dimensions des SEP pour f soit égale à dim(E).
Notons k = Card(Sp K ( f )), µ 1 ,. . . ,µ k les éléments de Sp K ( f ) .
Chaque SEP( f,µ j ) (1 j k) admet au moins une base B j ; notons B =
k
j=1
B j .
Comme les SEP( f,µ j ) (1 j k) sont en somme directe (cf. 3.1 Prop. 3 p. 76), et que chaque B j est
libre, B est libre.
D'autre part :
Card(B) =
k
j=1
Card(B j ) =
k
j=1
dim(SEP( f,µ j )) = dim(E).
Rappel de notation :
diag (λ 1 ,. . . ,λ n )
=
λ 1
0
. . .
0
λ n
.
On a, pour tout i ∈ {1,. . . ,n} :
K e i ⊂ Ker( f − λ i e).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Par définition,µ 1 ,. . . ,µ k sont deux à
deux distincts.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cf. 1.1.2 Prop. 2, Preuve, 2).
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Géométrie
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Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le résultat 4) est souvent utile en pratique.
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2) Il existe des matrices diagonalisables et des matrices non diagonalisables (cf. plus loin p. 100).
3) Toute matrice diagonale est diagonalisable.
4) Si une matrice A de M n (K ) est diagonalisable et n’a qu’une seule valeur propre α ∈ K,
alors il existe P ∈ GL n (K ) telle que A = P(αI n )P
−1 et donc A = αI n .
Proposition
Soit f ∈ L(E). Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) f est diagonalisable
(ii) Il existe une base de E formée de − →
vp pour f
(iii) La somme des SEP pour f est égale à E
(iv) La somme des dimensions des SEP pour f est égale à dim(E).
Preuve
(i) ⇒ (ii)
Supposons f diagonalisable.
Il existe une base B = (e 1 ,. . . ,e n ) de E telle que Mat B ( f ) soit diagonale ; il existe donc
(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ K n tel que : Mat B ( f ) = diag (λ 1 ,. . . ,λ n ) .
Comme : ∀i ∈ {1,. . . ,n},
f (e i ) = λ i e i
e i = 0
,
B = (e 1 ,. . . ,e n ) est une base de E formée de − →
vp pour f.
(ii) ⇒ (iii)
Supposons qu'il existe une base B = (e 1 ,. . . ,e n ) formée de − →
vp pour f.
Il existe donc (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ K n tel que : ∀i ∈ {1,. . . ,n}, f (e i ) = λ i e i .
Il est clair que chaque λ i est une vp de f (un − →
vp associé est e i ). Notons = {λ i ; 1 i n}. Alors :
λ∈Sp K ( f )
Ker( f − λe) ⊃
λ∈
Ker( f − λe) =
n
i=1
Ker( f − λ i e) ⊃
n
i=1
K e i = E,
donc la somme des SEP pour f, qui est
λ∈Sp K ( f )
Ker( f − λe) est égale à E .
(iii) ⇒ (iv)
Supposons que la somme des SEP pour f soit égale à E . Comme cette somme est directe (cf. 3.1 Prop. 3
p. 76), on a alors :
λ∈Sp K ( f )
dim(SEP( f,λ)) = dim
λ∈Sp K ( f )
SEP( f,λ)
= dim(E).
(iv) ⇒ (i)
Supposons que la somme des dimensions des SEP pour f soit égale à dim(E).
Notons k = Card(Sp K ( f )), µ 1 ,. . . ,µ k les éléments de Sp K ( f ) .
Chaque SEP( f,µ j ) (1 j k) admet au moins une base B j ; notons B =
k
j=1
B j .
Comme les SEP( f,µ j ) (1 j k) sont en somme directe (cf. 3.1 Prop. 3 p. 76), et que chaque B j est
libre, B est libre.
D'autre part :
Card(B) =
k
j=1
Card(B j ) =
k
j=1
dim(SEP( f,µ j )) = dim(E).
Rappel de notation :
diag (λ 1 ,. . . ,λ n )
=
λ 1
0
. . .
0
λ n
.
On a, pour tout i ∈ {1,. . . ,n} :
K e i ⊂ Ker( f − λ i e).
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Par définition,µ 1 ,. . . ,µ k sont deux à
deux distincts.
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Cf. 1.1.2 Prop. 2, Preuve, 2).
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Le résultat 4) est souvent utile en pratique.