Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
88
Ainsi, B est une base de E , et la matrice de f dans B est diagonale, puisque les éléments de B
sont des − →
vp pour f : Mat B ( f ) =
µ 1 I d 1
0
. . .
0
µ k I d k
où d j = Card(B j ),1 j k.
Remarque : D'après la preuve précédente, si f ∈ L(E) est diagonalisable, alors les éléments
diagonaux d'une matrice diagonale représentant f sont les valeurs propres de f, écrites sur
cette diagonale autant de fois que l'indiquent leurs ordres de multiplicité.
Nous verrons plus loin (3.4 Rem. 4) p. 98) une propriété analogue pour les endomorphismes
trigonalisables.
Théorème
CNS de diagonalisabilité
1) Soit f ∈ L(E), f est diagonalisable si et seulement si :
• χ f est scindé sur K
• Pour chaque vp λ de f , dim
SEP( f,λ)
est égale à l’ordre
de multiplicité de λ.
2) Soit A ∈ M n (K ); A est diagonalisable si et seulement si :
• χ A est scindé sur K
• Pour chaque vp λ de A, dim
SEP(A,λ)
est égale à l’ordre
de multiplicité de λ.
Preuve
1) Pour chaque vp λ de f, notons d(λ) = dim(SEP( f,λ)) et ω(λ) l'ordre de multiplicité de λ (dans
χ f ).
• Supposons f diagonalisable.
D'après 3.2 Prop. 5 p. 82 : ∀λ ∈ Sp K ( f ), d(λ) ω(λ).
D'après Prop. p. 87 : n =
λ∈Sp K ( f )
d(λ).
D'autre part, puisque f est diagonalisable, il existe une base B de E et (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ K n tels que :
Mat B ( f ) =
λ 1
0
. . .
0
λ n
.
On a donc : ∀λ ∈ K , χ f (λ) = det(Mat B ( f ) − λI n ) =
n
i=1
(λ i − λ) .
Ainsi, χ f est scindé et donc :
λ∈Sp K ( f )
ω(λ) = n.
On conclut : ∀λ ∈ K , d(λ) = ω(λ) .
• Réciproquement, supposons χ f scindé et : ∀λ ∈ Sp K ( f ), d(λ) = ω(λ) .
Puisque χ f est scindé et que les zéros de χ f sont les vp de f :
λ∈Sp K ( f )
ω(λ) = n.
D'où :
λ∈Sp K ( f )
d(λ) = n, et donc (cf. Prop. p. 87) f est diagonalisable.
2) Cette deuxième propriété est clairement l'expression matricielle de la première.
Résultat important pour la pratique.
Théorème important.
On a, pour tout λ,d(λ) ω(λ), et
d'autre part :
λ
d(λ) =
λ
ω(λ).
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Géométrie
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Ainsi, B est une base de E , et la matrice de f dans B est diagonale, puisque les éléments de B
sont des − →
vp pour f : Mat B ( f ) =
µ 1 I d 1
0
. . .
0
µ k I d k
où d j = Card(B j ),1 j k.
Remarque : D'après la preuve précédente, si f ∈ L(E) est diagonalisable, alors les éléments
diagonaux d'une matrice diagonale représentant f sont les valeurs propres de f, écrites sur
cette diagonale autant de fois que l'indiquent leurs ordres de multiplicité.
Nous verrons plus loin (3.4 Rem. 4) p. 98) une propriété analogue pour les endomorphismes
trigonalisables.
Théorème
CNS de diagonalisabilité
1) Soit f ∈ L(E), f est diagonalisable si et seulement si :
• χ f est scindé sur K
• Pour chaque vp λ de f , dim
SEP( f,λ)
est égale à l’ordre
de multiplicité de λ.
2) Soit A ∈ M n (K ); A est diagonalisable si et seulement si :
• χ A est scindé sur K
• Pour chaque vp λ de A, dim
SEP(A,λ)
est égale à l’ordre
de multiplicité de λ.
Preuve
1) Pour chaque vp λ de f, notons d(λ) = dim(SEP( f,λ)) et ω(λ) l'ordre de multiplicité de λ (dans
χ f ).
• Supposons f diagonalisable.
D'après 3.2 Prop. 5 p. 82 : ∀λ ∈ Sp K ( f ), d(λ) ω(λ).
D'après Prop. p. 87 : n =
λ∈Sp K ( f )
d(λ).
D'autre part, puisque f est diagonalisable, il existe une base B de E et (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ K n tels que :
Mat B ( f ) =
λ 1
0
. . .
0
λ n
.
On a donc : ∀λ ∈ K , χ f (λ) = det(Mat B ( f ) − λI n ) =
n
i=1
(λ i − λ) .
Ainsi, χ f est scindé et donc :
λ∈Sp K ( f )
ω(λ) = n.
On conclut : ∀λ ∈ K , d(λ) = ω(λ) .
• Réciproquement, supposons χ f scindé et : ∀λ ∈ Sp K ( f ), d(λ) = ω(λ) .
Puisque χ f est scindé et que les zéros de χ f sont les vp de f :
λ∈Sp K ( f )
ω(λ) = n.
D'où :
λ∈Sp K ( f )
d(λ) = n, et donc (cf. Prop. p. 87) f est diagonalisable.
2) Cette deuxième propriété est clairement l'expression matricielle de la première.
Résultat important pour la pratique.
Théorème important.
On a, pour tout λ,d(λ) ω(λ), et
d'autre part :
λ
d(λ) =
λ
ω(λ).
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