3.3 • Diagonalisabilité
89
Exemple :
Montrer que A =
2 0
1
1 1
1
−2 0 −1
∈ M 3 (R) est diagonalisable et diagonaliser A.
Formons le polynôme caractéristique de A :
χ A (λ) =
2 − λ
0
1
1
1− λ
1
−2
0
−1 − λ
= (1 − λ)
2 − λ
1
−2
−1 − λ
= −λ(λ − 1) 2 .
Les vp de A sont 0 (simple) et 1 (double).
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,0) ⇐⇒
2x + z = 0
x + y + z = 0
−2x − z = 0
⇐⇒
z = −2x
y = x
.
Donc SEP(A,0) est de dimension 1 et admet pour base (V 1 ) où V 1 =
1
1
−2
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,1) ⇐⇒ x + z = 0 .
Donc SEP(A,1) est de dimension 2 et admet pour base (V 2 ,V 3 )
où V 2 =
0
1
0
, V 3 =
1
0
−1
, par exemple.
Puisque χ A est scindé sur R et que, pour chaque vp de A, la dimension du SEP est égale à
l'ordre de multiplicité de la vp, d'après le Théorème précédent, A est diagonalisable.
En notant B 0 la base canonique de M 3,1 (R) , B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ), P = Pass(B 0 ,B)
=
1 0
1
1 1
0
−2 0 −1
, D =
0 0 0
0 1 0
0 0 1
, on a : A = P D P −1 .
La calculette fournit : P −1 =
−1 0 −1
1 1
1
2 0
1
.
Corollaire
CS de diagonalisabilité
1) Soit f ∈ L(E). Si f admet n valeurs propres deux à deux distinctes (où
n = dim(E)), alors f est diagonalisable.
2) Soit A ∈ M n (K ). Si A admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors A est
diagonalisable.
Exemple :
Soient n ∈ N − {0,1} ,
Montrer que A est diagonalisable.
Formons le polynôme caractéristique, en développant par rapport à la dernière ligne :
A =
0 1
0
0
1
1
0
∈ M n (C).
A (λ) =
−λ 1
0
0
1
1
−λ
[n]
= −λ
−λ 1
0
0
1
−λ
[n−1]
+ (−1)
n+1
1
0
−λ
0 −λ 1
[n−1]
= (−λ)(−λ)
n−1 + (−1)
n+1 = (−1)
n (λ
n − 1).
χ
Développement par rapport à la 2 e
colonne.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On peut vérifier à la calculette, que :
A = P D P −1 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cas fréquent en pratique.
Les deux déterminants qui apparaîssent
sont triangulaires, respectivement
supérieur, inférieur.
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Gé
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89
Exemple :
Montrer que A =
2 0
1
1 1
1
−2 0 −1
∈ M 3 (R) est diagonalisable et diagonaliser A.
Formons le polynôme caractéristique de A :
χ A (λ) =
2 − λ
0
1
1
1− λ
1
−2
0
−1 − λ
= (1 − λ)
2 − λ
1
−2
−1 − λ
= −λ(λ − 1) 2 .
Les vp de A sont 0 (simple) et 1 (double).
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,0) ⇐⇒
2x + z = 0
x + y + z = 0
−2x − z = 0
⇐⇒
z = −2x
y = x
.
Donc SEP(A,0) est de dimension 1 et admet pour base (V 1 ) où V 1 =
1
1
−2
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,1) ⇐⇒ x + z = 0 .
Donc SEP(A,1) est de dimension 2 et admet pour base (V 2 ,V 3 )
où V 2 =
0
1
0
, V 3 =
1
0
−1
, par exemple.
Puisque χ A est scindé sur R et que, pour chaque vp de A, la dimension du SEP est égale à
l'ordre de multiplicité de la vp, d'après le Théorème précédent, A est diagonalisable.
En notant B 0 la base canonique de M 3,1 (R) , B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ), P = Pass(B 0 ,B)
=
1 0
1
1 1
0
−2 0 −1
, D =
0 0 0
0 1 0
0 0 1
, on a : A = P D P −1 .
La calculette fournit : P −1 =
−1 0 −1
1 1
1
2 0
1
.
Corollaire
CS de diagonalisabilité
1) Soit f ∈ L(E). Si f admet n valeurs propres deux à deux distinctes (où
n = dim(E)), alors f est diagonalisable.
2) Soit A ∈ M n (K ). Si A admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors A est
diagonalisable.
Exemple :
Soient n ∈ N − {0,1} ,
Montrer que A est diagonalisable.
Formons le polynôme caractéristique, en développant par rapport à la dernière ligne :
A =
0 1
0
0
1
1
0
∈ M n (C).
A (λ) =
−λ 1
0
0
1
1
−λ
[n]
= −λ
−λ 1
0
0
1
−λ
[n−1]
+ (−1)
n+1
1
0
−λ
0 −λ 1
[n−1]
= (−λ)(−λ)
n−1 + (−1)
n+1 = (−1)
n (λ
n − 1).
χ
Développement par rapport à la 2 e
colonne.
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On peut vérifier à la calculette, que :
A = P D P −1 .
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Cas fréquent en pratique.
Les deux déterminants qui apparaîssent
sont triangulaires, respectivement
supérieur, inférieur.
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