Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
90
Il est clair que χ A est scindé sur C et à zéros simples (les racines n èmes de 1 dans C ) ; d'après
le Corollaire précédent, A est diagonalisable dans M n (C).
Remarque : Toute matrice triangulaire de M n (K ) ayant ses éléments diagonaux deux à deux
distincts est diagonalisable, puisque son polynôme caractéristique est scindé simple
(cf. ex. 3.3.19).
Lorsqu'une matrice carrée n'est pas diagonalisable, il se peut qu'elle soit trigonalisable, c'est-àdire qu'il existe P ∈ GL n (K ), T ∈ T n,s (K ) telles que A = PT P −1 . La théorie de la trigonalisation sera vue dans le § 3.4 p. 98.
Pour cet exemple voir aussi plus loin 3.5.2
Exemple 4) p. 112.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 3.3.1 à 3.3.23.
Exercice-type résolu 1
Exemple de diagonalisabilité
Soit n ∈ N tel que n 3. On note A n =
2 2 . . . 2 2
1 0 . . . 0 1
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
1 0 . . . 0 1
2 2 . . . 2 2
∈ M n (R).
a) Montrer que 0 est valeur propre de A n et déterminer dim SEP (A n ,0).
b) Déterminer les valeurs propres de A n .
c) Montrer que A n est diagonalisable dans M n (R).
Conseils
rg (A n ) = dim Vect (C 1 ,...,C n )
= dim Vect (C 1 ,C 2 ).
Par hypothèse : n 3.
On va déterminer les autres valeurs
propres de A n , c'est-à-dire les valeurs
propres non nulles.
Solution
a) On remarque, en notant C 1 ,...,C n les colonnes de A :
C 1 = C n
et
C 2 = C 3 = ... = C n−1 .
Il en résulte : rg (A n ) 2.
De plus, (C 1 ,C 2 ) est libre, car C 2 n'est pas colinéaire à C 1 .
On obtient : rg (A n ) = 2.
Il en résulte, par le théorème du rang :
dim Ker (A n ) = n − rg (A n ) = n − 2 1.
Ceci montre que 0 est valeur propre de A n et, comme Ker (A n ) = SEP (A n ,0),
on a : dim SEP (A n ,0) = n − 2.
b) Soient λ ∈ R
∗ , X =
x 1
. . .
x n
∈ M n,1 (R). On a :
A n X = λX ⇐⇒
2 2 . . . 2 2
1 0 . . . 0 1
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
1 0 . . . 0 1
2 2 . . . 2 2
x 1
x 2
. . .
x n−1
x n
= λ
x 1
x 2
. . .
x n−1
x n
⇐⇒
2x 1 + 2x 2 + · · · + 2x n−1 + 2x n = λx 1
x 1 + x n = λx 2
. . .
x 1 + x n = λx n−1
2x 1 + 2x 2 + · · · + 2x n−1 + 2x n = λx n
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Il est clair que χ A est scindé sur C et à zéros simples (les racines n èmes de 1 dans C ) ; d'après
le Corollaire précédent, A est diagonalisable dans M n (C).
Remarque : Toute matrice triangulaire de M n (K ) ayant ses éléments diagonaux deux à deux
distincts est diagonalisable, puisque son polynôme caractéristique est scindé simple
(cf. ex. 3.3.19).
Lorsqu'une matrice carrée n'est pas diagonalisable, il se peut qu'elle soit trigonalisable, c'est-àdire qu'il existe P ∈ GL n (K ), T ∈ T n,s (K ) telles que A = PT P −1 . La théorie de la trigonalisation sera vue dans le § 3.4 p. 98.
Pour cet exemple voir aussi plus loin 3.5.2
Exemple 4) p. 112.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 3.3.1 à 3.3.23.
Exercice-type résolu 1
Exemple de diagonalisabilité
Soit n ∈ N tel que n 3. On note A n =
2 2 . . . 2 2
1 0 . . . 0 1
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
1 0 . . . 0 1
2 2 . . . 2 2
∈ M n (R).
a) Montrer que 0 est valeur propre de A n et déterminer dim SEP (A n ,0).
b) Déterminer les valeurs propres de A n .
c) Montrer que A n est diagonalisable dans M n (R).
Conseils
rg (A n ) = dim Vect (C 1 ,...,C n )
= dim Vect (C 1 ,C 2 ).
Par hypothèse : n 3.
On va déterminer les autres valeurs
propres de A n , c'est-à-dire les valeurs
propres non nulles.
Solution
a) On remarque, en notant C 1 ,...,C n les colonnes de A :
C 1 = C n
et
C 2 = C 3 = ... = C n−1 .
Il en résulte : rg (A n ) 2.
De plus, (C 1 ,C 2 ) est libre, car C 2 n'est pas colinéaire à C 1 .
On obtient : rg (A n ) = 2.
Il en résulte, par le théorème du rang :
dim Ker (A n ) = n − rg (A n ) = n − 2 1.
Ceci montre que 0 est valeur propre de A n et, comme Ker (A n ) = SEP (A n ,0),
on a : dim SEP (A n ,0) = n − 2.
b) Soient λ ∈ R
∗ , X =
x 1
. . .
x n
∈ M n,1 (R). On a :
A n X = λX ⇐⇒
2 2 . . . 2 2
1 0 . . . 0 1
. . .
. . . (0)
. . .
. . .
1 0 . . . 0 1
2 2 . . . 2 2
x 1
x 2
. . .
x n−1
x n
= λ
x 1
x 2
. . .
x n−1
x n
⇐⇒
2x 1 + 2x 2 + · · · + 2x n−1 + 2x n = λx 1
x 1 + x n = λx 2
. . .
x 1 + x n = λx n−1
2x 1 + 2x 2 + · · · + 2x n−1 + 2x n = λx n