3.3 • Diagonalisabilité
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Conseils
On utilise : λ = 0.
On a x 2 = 0, car, si x 2 = 0, alors x 1 = 0,
puis x 3 = ... = x n−1 = 0,x n = 0,X = 0 ,
contradiction.
On a bien 0,λ 1 ,λ 2 deux à deux distincts,
car n 3.
D'après le Cours, la somme
λ∈Sp R (An )
est
directe.
Solution
⇐⇒

    
    
x 1 = x n
x 2 = ... = x n−1
2(x 1 + x 2 + · · · + x n ) = λx 1
x 1 + x n = λx 2
⇐⇒

    
    
x 1 = x n
x 2 = ... = x n−1
2
2x 1 + (n − 2)x 2
= λx 1
(1)
2x 1 = λx 2
(2).
On a :
(1)
(2)
⇐⇒

  
  
x 1 =
λ
2
x 2
2λx 2 + 2(n − 2)x 2 =
λ
2
2
x 2
(3).
et :
(3) ⇐⇒ x 2
λ
2
2
− 2λ − 2(n − 2)
= 0 ⇐⇒ λ
2 − 4λ − 4(n − 2) = 0
(4).
Le discriminant ∆ de cette équation (4) du second degré est :
∆ = 16 + 16(n − 2) = 16(n − 1) > 0,
donc :
(4) ⇐⇒
λ = λ 1 ou λ = λ 2
,
où :
λ 1 =
4 −
√
16(n − 1)
2
= 2 − 2
√
n − 1,
λ 2 = 2 + 2
√
n − 1.
Il en résulte que les valeurs propres de A n sont : 0, 2 − 2
√
n − 1, 2 + 2
√
n − 1.
c) Notons, pour λ ∈ Sp R (A n ) = {0, λ 1 , λ 2 } : E λ = SEP (A n ,λ).
D'après a) : dim (E 0 ) = n − 2.
D'après b) : dim (E λ 1 ) 1 et dim (E λ 2 ) 1.
D'autre part :
λ∈Sp R (An )
dim (E λ ) n.
On a donc nécessairement :
dim (E 0 ) = n − 2,
dim (E λ 1 ) = dim (E λ 2 ) = 1,
donc :
λ∈Sp R (An )
dim (E λ ) = n, et on conclut : A n est diagonalisable dans M n (R).
Exercice-type résolu 2
Exemple d'étude de diagonalisabilité d'une matrice avec paramètre
On note, pour tout t ∈ ]0; +∞[ : A(t) =


0 0 3t
2
1 0 0
1 1 0

 ∈ M 3 (R). Déterminer l'ensemble des t ∈ ]0; +∞[ tels que A(t) soit diagonalisable dans M 3 (R).