3.1 • Éléments propres
75
En particulier, pour toute A de M n (K ) : A ∈ GL n (K ) ⇐⇒ 0 ∈ Sp K (A).
Proposition-Définition 2
1) Soient E un K-ev, e = Id E , f ∈ L(E).
• Soient λ ∈ K, x ∈ E. On dit que λ et x sont des valeur propre et vecteur propre
associés si et seulement si : x = 0 et f (x) = λx.
• Pour toute vp λ de f, le sev Ker( f − λe) de E est formé des − →
vp pour f associés à
λ et du vecteur nul. Ce sev Ker( f − λe) est appelé le sous-espace propre pour f
associé à la vp λ de f, et noté SEP ( f,λ) :
SEP ( f,λ) = Ker( f − λe).
2) Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ).
• Soient λ ∈ K, X ∈ M n,1 (K ). On dit que λ et X sont des valeur propre et vecteur
propre associés si et seulement si :
X = 0 et AX = λX.
• Pour toute vp λ de A, le sev Ker(A − λI n ) de M n,1 (K ) est formé des − →
vp pour A
associés à λ et du vecteur nul. Ce sev Ker(A − λI n ) est appelé le sous-espace propre
pour A associé à la vp λ de A, et noté SEP (A,λ) :
SEP (A,λ) = Ker(A − λI n ).
Remarques :
1) Soient E un K-ev, f ∈ L(E) , λ ∈ Sp K ( f ).
Comme : ∀x ∈ SEP( f,λ), f (x) = λx , SEP( f,λ) est stable par f, et l'endomorphisme induit
par f sur SEP ( f,λ) est l'homothétie de rapport λ : SEP( f,λ) −→ SEP( f,λ)
x −→ λx
.
2) Soit E un K-ev tel que E = {0} . Pour tout α de K, le spectre de l'homothétie h α : E −→ E
x −→ αx
est {α} , et SEP (h α ,α) = E .
3) Soient E un K-ev de dimension finie n, n 1 , B une base de E , f ∈ L(E) , A = Mat B ( f ),
λ ∈ Sp K ( f ), x ∈ E, X = Mat B (x). Il est clair que :
x ∈ SEP( f,λ) ⇐⇒ X ∈ SEP(A,λ).
Exemple :
Soient n ∈ N − {0,1}, A =
1
1
1
1
1
∈ M n (R) .
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
Soient λ ∈ R, X =
x 1
. . .
x n
∈ M n,1 (R) − {0} . On a :
X ∈ SEP (A,λ) ⇐⇒
AX = λX ⇐⇒
x 1 + . . . + x n = λx 1
. . .
x 1 + . . . + x n = λx n
⇐⇒
(λ = 0, x 1 = . . . = x n , λ = n)
ou
(λ = 0, x 1 + . . . + x n = 0)
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Autrement dit, une matrice carrée A
est inversible si et seulement si 0 n’est
pas valeur propre de A.
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ométrie Monier
Pour toute valeur propre λ de f,le sousespace propre SEP(f,λ) est formé des
vecteurs propres pour f associés à la
valeur propre λ et du vec-teur nul.
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Pour toute valeur propre λ de A, le
sous-espace propre SEP(A,λ) est formé
des vecteurs propres pour A associés à
la valeur propre λ et du vecteur colonne
nul.
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Cas particulier d’une homothétie.
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Exemple classique très utile.
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En particulier, pour toute A de M n (K ) : A ∈ GL n (K ) ⇐⇒ 0 ∈ Sp K (A).
Proposition-Définition 2
1) Soient E un K-ev, e = Id E , f ∈ L(E).
• Soient λ ∈ K, x ∈ E. On dit que λ et x sont des valeur propre et vecteur propre
associés si et seulement si : x = 0 et f (x) = λx.
• Pour toute vp λ de f, le sev Ker( f − λe) de E est formé des − →
vp pour f associés à
λ et du vecteur nul. Ce sev Ker( f − λe) est appelé le sous-espace propre pour f
associé à la vp λ de f, et noté SEP ( f,λ) :
SEP ( f,λ) = Ker( f − λe).
2) Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ).
• Soient λ ∈ K, X ∈ M n,1 (K ). On dit que λ et X sont des valeur propre et vecteur
propre associés si et seulement si :
X = 0 et AX = λX.
• Pour toute vp λ de A, le sev Ker(A − λI n ) de M n,1 (K ) est formé des − →
vp pour A
associés à λ et du vecteur nul. Ce sev Ker(A − λI n ) est appelé le sous-espace propre
pour A associé à la vp λ de A, et noté SEP (A,λ) :
SEP (A,λ) = Ker(A − λI n ).
Remarques :
1) Soient E un K-ev, f ∈ L(E) , λ ∈ Sp K ( f ).
Comme : ∀x ∈ SEP( f,λ), f (x) = λx , SEP( f,λ) est stable par f, et l'endomorphisme induit
par f sur SEP ( f,λ) est l'homothétie de rapport λ : SEP( f,λ) −→ SEP( f,λ)
x −→ λx
.
2) Soit E un K-ev tel que E = {0} . Pour tout α de K, le spectre de l'homothétie h α : E −→ E
x −→ αx
est {α} , et SEP (h α ,α) = E .
3) Soient E un K-ev de dimension finie n, n 1 , B une base de E , f ∈ L(E) , A = Mat B ( f ),
λ ∈ Sp K ( f ), x ∈ E, X = Mat B (x). Il est clair que :
x ∈ SEP( f,λ) ⇐⇒ X ∈ SEP(A,λ).
Exemple :
Soient n ∈ N − {0,1}, A =
1
1
1
1
1
∈ M n (R) .
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
Soient λ ∈ R, X =
x 1
. . .
x n
∈ M n,1 (R) − {0} . On a :
X ∈ SEP (A,λ) ⇐⇒
AX = λX ⇐⇒
x 1 + . . . + x n = λx 1
. . .
x 1 + . . . + x n = λx n
⇐⇒
(λ = 0, x 1 = . . . = x n , λ = n)
ou
(λ = 0, x 1 + . . . + x n = 0)
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Autrement dit, une matrice carrée A
est inversible si et seulement si 0 n’est
pas valeur propre de A.
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vecteurs propres pour f associés à la
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la valeur propre λ et du vecteur colonne
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