Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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K désigne un corps commutatif.
3.1 Éléments propres
Définition
1) Soient E un K-ev, f ∈ L(E).
• Soit λ ∈ K. On dit que λ est une valeur propre (en abrégé : vp) de (ou : pour) f
si et seulement si :
∃x ∈ E, (x = 0 et f (x) = λx).
On appelle spectre de f, et on note Sp K ( f ) (ou : Sp( f )) l'ensemble des valeurs
propres de f.
• Soit x ∈ E. On dit que x est un vecteur propre (en abrégé : − →
vp ) de (ou : pour) f
si et seulement si :
x = 0 et (∃λ ∈ K , f (x) = λx).
2) Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ).
• Soit λ ∈ K. On dit que λ est une valeur propre (en abrégé : vp) de (ou : pour) A
si et seulement si :
∃X ∈ M n,1 (K ), (X = 0 et AX = λX).
On appelle spectre de A, et on note Sp K (A) (ou : Sp(A)) l'ensemble des valeurs
propres de A.
• Soit X ∈ M n,1 (K ). On dit que X est un vecteur propre (en abrégé : − →
vp ) de (ou :
pour) A si et seulement si :
X = 0 et (∃λ ∈ K , AX = λX).
Les valeurs propres et vecteurs propres sont globalement appelés éléments propres.
Remarques :
1) Soient E un K-ev de dimension finie n, n 1 , B une base de E , A = Mat B ( f ). Alors :
• Pour tout λ de K, λ est vp de f si et seulement si λ est vp de A (autrement dit :
Sp K ( f ) = Sp K (A))
• Pour tout x de E , x est − →
vp de f si et seulement si Mat B (x) est − →
vp de A.
2) Par définition, un vecteur propre n'est jamais nul.
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition 1
1) Soient E un K-ev, e = Id E , λ ∈ K; on a :
λ ∈ Sp K ( f ) ⇐⇒ Ker( f − λe) = {0} ⇐⇒ f − λe non injectif.
2) Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ), λ ∈ K ; on a :
λ ∈ Sp K (A) ⇐⇒ Ker(A − λI n ) = {0} ⇐⇒ A − λI n /
∈ GL n (K )
⇐⇒ rg(A − λI n ) < n .
Définitions fondamentales.
On pourra donc, dans le cadre de la
dimension finie, choisir le point de vue
« endomorphismes » ou le point de vue
matriciel.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier