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CHAPITRE 3
Réduction
des endomorphismes
et des matrices carrées
Introduction
La recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphisme d’un espace vectoriel est fondamentale en théorie et dans les mathématiques appliquées. Suivant le contexte, l'étude se situera en dimension
finie, où l'usage des matrices est possible, ou en dimension non finie.
Prérequis
• Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices (Algèbre PCSIPTSI, ch. 6 à 9)
• Déterminants (ch.2)
• Polynômes (Algèbre PCSI-PTSI, ch. 5)
• Trace, blocs (§ 1.4).
Objectifs
• Mise en place du vocabulaire relatif aux valeurs propres et vecteurs
propres d’un endomorphisme d'un espace vectoriel
• Définition et emploi du polynôme caractéristique
• Manipulation de polynômes d'endomorphismes et de polynômes de
matrices en liaison essentielle avec la diagonalisabilité
• Définition et applications de la diagonalisabilité, utilisation des
matrices diagonalisables
• Notion de trigonalisation
• Énoncé du théorème de Cayley et Hamilton
• Applications usuelles de la diagonalisation : calcul des puissances d'une
matrice carrée diagonalisable, calcul du terme général de certaines
suites, résolution de certains systèmes différentiels linéaires à coefficients constants (cf. Analyse PC-PSI-PT, § 8.3.6).
3.1 Éléments propres 74
Exercices
78
3.2 Polynôme
caractéristique
79
Exercices
85
3.3 Diagonalisabilité
86
Exercices
96
3.4 Trigonalisation
98
Exercices
105
3.5 Polynômes
d'endomorphismes,
polynômes de
matrices carrées 106
Exercices
115, 118
3.6 Applications de la
diagonalisation
119
Exercices
123, 126
Problèmes
126
Plan