Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
76
On conclut :
• Sp R (A) = {0,n}
• SEP(A,0) =
x 1
. . .
x n
∈ M n,1 (R); x 1 + . . . + x n = 0
, qui est un hyperplan de M n,1 (R)
• SEP(A,n) = R
1
1
, droite vectorielle.
Nous verrons plus loin (3.2 p. 79) l'éventuelle utilisation du polynôme caractéristique pour
déterminer les valeurs propres d'une matrice carrée.
Proposition 3
Soient f ∈ L(E), λ 1 ,. . . ,λ N des valeurs propres de f (deux à deux distinctes). Alors
les sous-espaces propres pour f associés à λ 1 ,. . . ,λ N sont en somme directe.
Preuve
Récurrence sur N.
La propriété est triviale pour N = 1.
Supposons-la vraie pour un N de N ∗ , et soient λ 1 ,. . . ,λ N +1 des valeurs propres de f deux à deux distinctes. Soit (x i ) 1i N +1 ∈ E N +1 tel que :
∀i ∈ {1,. . . ,N + 1}, x i ∈ SEP( f,λ i )
N +1
i=1
x i = 0.
En appliquant f : 0 =
N +1
i=1
f (x i ) =
N +1
i=1
λ i x i .
Ainsi :
x 1 + . . . + x N + x N +1 = 0
λ 1 x 1 + . . . + λ N x N + λ N +1 x N +1 = 0
,
d'où, en combinant : (λ N +1 − λ 1 )x 1 + . . . + (λ N +1 − λ N )x N = 0 .
Comme : ∀ i ∈ {1,. . . ,N }, (λ N +1 − λ i )x i ∈ SEP( f,λ i ) et que les sous-espaces propres SEP( f,λ i )
(1 i N ) sont en somme directe (hypothèse de récurrence), on déduit :
∀i ∈ {1,. . . ,N }, (λ N +1 − λ i )x i = 0 .
Mais λ 1 ,. . . ,λ N +1 sont deux à deux distincts, d'où : ∀i ∈ {1,. . . ,N }, x i = 0 ,
et enfin : x N +1 = −
N
i=1
x i = 0 .
Ceci montre que les SEP( f,λ i ) (1 i N + 1) sont en somme directe.
Remarque : Bien que la somme des SEP associés aux vp d'un endomorphisme f de E soit
directe, cette somme n'est pas nécessairement égale à E (voir plus loin, 3.3 Prop. p. 87).
On suppose que λ 1 ,. . . ,λ N sont deux
à deux distincts ou encore :
{λ 1 ,. . . ,λ N } ⊂ Sp K ( f ) .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On effectue λ N +1 L 1 − L 2 pour faire
disparaître x N +1 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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Gé
ométrie Monier
∀ i ∈ {1,. . . ,N },λ N +1 − λ i = 0 .
Monie r Algèbre Monier
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ométrie Monier
Exercices 3.1.1 à 3.1.15.
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On conclut :
• Sp R (A) = {0,n}
• SEP(A,0) =
x 1
. . .
x n
∈ M n,1 (R); x 1 + . . . + x n = 0
, qui est un hyperplan de M n,1 (R)
• SEP(A,n) = R
1
1
, droite vectorielle.
Nous verrons plus loin (3.2 p. 79) l'éventuelle utilisation du polynôme caractéristique pour
déterminer les valeurs propres d'une matrice carrée.
Proposition 3
Soient f ∈ L(E), λ 1 ,. . . ,λ N des valeurs propres de f (deux à deux distinctes). Alors
les sous-espaces propres pour f associés à λ 1 ,. . . ,λ N sont en somme directe.
Preuve
Récurrence sur N.
La propriété est triviale pour N = 1.
Supposons-la vraie pour un N de N ∗ , et soient λ 1 ,. . . ,λ N +1 des valeurs propres de f deux à deux distinctes. Soit (x i ) 1i N +1 ∈ E N +1 tel que :
∀i ∈ {1,. . . ,N + 1}, x i ∈ SEP( f,λ i )
N +1
i=1
x i = 0.
En appliquant f : 0 =
N +1
i=1
f (x i ) =
N +1
i=1
λ i x i .
Ainsi :
x 1 + . . . + x N + x N +1 = 0
λ 1 x 1 + . . . + λ N x N + λ N +1 x N +1 = 0
,
d'où, en combinant : (λ N +1 − λ 1 )x 1 + . . . + (λ N +1 − λ N )x N = 0 .
Comme : ∀ i ∈ {1,. . . ,N }, (λ N +1 − λ i )x i ∈ SEP( f,λ i ) et que les sous-espaces propres SEP( f,λ i )
(1 i N ) sont en somme directe (hypothèse de récurrence), on déduit :
∀i ∈ {1,. . . ,N }, (λ N +1 − λ i )x i = 0 .
Mais λ 1 ,. . . ,λ N +1 sont deux à deux distincts, d'où : ∀i ∈ {1,. . . ,N }, x i = 0 ,
et enfin : x N +1 = −
N
i=1
x i = 0 .
Ceci montre que les SEP( f,λ i ) (1 i N + 1) sont en somme directe.
Remarque : Bien que la somme des SEP associés aux vp d'un endomorphisme f de E soit
directe, cette somme n'est pas nécessairement égale à E (voir plus loin, 3.3 Prop. p. 87).
On suppose que λ 1 ,. . . ,λ N sont deux
à deux distincts ou encore :
{λ 1 ,. . . ,λ N } ⊂ Sp K ( f ) .
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On effectue λ N +1 L 1 − L 2 pour faire
disparaître x N +1 .
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∀ i ∈ {1,. . . ,N },λ N +1 − λ i = 0 .
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Exercices 3.1.1 à 3.1.15.