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2.10 • Systèmes affines
Conseils
On peut vérifier, par quelques lignes de calcul, que les valeurs obtenues pour x,y,z
satisfont (S).
Solution
Si a = 1, on obtient : z =
−a
2
+ 2
a(a + 1)(a − 1)
, puis, en reportant dans (4) :
x = −2y − az =
2
a(a + 1)
+
a
2
− 2
(a + 1)(a − 1)
=
2(a − 1) + a(a
2
− 2)
a(a + 1)(a − 1)
=
a
3
− 2
a(a + 1)(a − 1)
.
On conclut que l'ensemble S des solutions de (S) est :
S =

  
  
x =
a
3
− 2
a(a + 1)(a − 1)
, y = −
1
a(a + 1)
, z =
−a
2
+ 2
a(a + 1)(a − 1)
si a /
∈ {−1,0,1}
∅
si a ∈ {−1,0,1}.
Les méthodes à retenir
Systèmes affines
• Pour résoudre un système d’équations affines, on essaiera de combiner les équations pour faire partir certaines
inconnues, de façon à se ramener à un système « en cascade ». Si le système comporte des paramètres, il y aura
lieu de discuter. Dans la réponse, les titres des cas porteront, bien sûr, sur les paramètres et non sur les inconnues.
Les formules de Cramer ne sont guère pratiques dans les exemples ; leur intérêt est plus théorique.
2.10.1 Résoudre les systèmes d'équations suivants (inconnues (x,y,z) ∈ C 3 , paramètres a,b,m ∈ C ) :
a)



2x + 3y − z = −1
x + 2y + 3z = 2
3x + 4y − 5z = −4
b)



x + y + (2m − 1)z = 1
mx + y + z = 1
x + my + z = 3(m + 1)
c)



3mx + (3m − 7)y + (m − 5)z = m − 1
(2m − 1)x + (4m − 1)y + 2mz = m + 1
4mx + (5m − 7)y + (2m − 5)z = m − 1
d)



x − my + m 2 z = m
mx − m 2 y + mz = 1
mx + y − m 3 z = 1
e)



3x + y − z = 1
5x + 2y − 2z = a
4x + y − z = b
f)



ax + (b − 1)y + 2z = 1
ax + (2b − 3)y + 3z = 1
ax + (b − 1)y + (b + 2)z = 2b − 3
g)

  
  
2x + y − z = 2
x − y + z = 4
3x + 3y − z = 4a
(2 − a)x + 2y − 2z = −2b.
Exercices