Chapitre 2 • Déterminants
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Exercice-type résolu
Exemple de résolution de système affine
Résoudre, suivant a ∈ R, le système d'équations suivant, d'inconnue (x,y,z) ∈ R
3 :
(S)

  
  
x + 2y + az = 0
(1)
x − ay + z = 1
(2)
ax − 2y + z = a
(3).
Conseils
D'autres départs de calcul sont possibles.
L 3 ←− L 3 − (a + 1)L 2 .
On obtient : 0z = −1.
On obtient : 0z =
1
2
.
Solution
On peut, par exemple, exprimer x en fonction de a,y,z à partir de l'équation (1) et
reporter dans les deux autres :
(S) ⇐⇒

 
 
x = −2y − az
−2y − az − ay + z = 1
a(−2y − az) − 2y + z = a
⇐⇒

 
 
x = −2y − az
(−a − 2)y + (−a + 1)z = 1
(−2a − 2)y + (−a
2
+ 1)z = a
⇐⇒

 
 
x = −2y − az
(4)
(a + 2)y + (a − 1)z = −1
(5)
(2a + 2)y + (a
2
− 1)z = −a (6).
On peut, par exemple, multiplier l'équation (5) par a + 1 puis soustraire à l'équation (6), pour faire disparaître z :
(S) ⇐⇒

  
  
(4)
(5)
(2a + 2) − (a + 1)(a + 2)
y = 1 (7).
Puis :
(7) ⇐⇒ (−a
2 − a)y = 1 ⇐⇒ a(a + 1)y = −1.
Séparons en cas.
Si a = 0 ou a = −1, alors (7) n'a pas de solution, donc (S) non plus.
Supposons a = 0 et a = −1. Alors :
(7) ⇐⇒ y = −
1
a(a + 1)
,
puis, en reportant la valeur de y dans (5) :
(S) ⇐⇒

     
     
(4)
y = −
1
a(a + 1)
−
a + 2
a(a + 1)
+ (a − 1)z = −1 (8).
On a :
(8) ⇐⇒ (a − 1)z =
a + 2
a(a + 1)
− 1 =
−a
2
+ 2
a(a + 1)
.
Si a = 1, alors cette dernière équation (d'inconnue z) n'a pas de solution, donc (S)
non plus.