69
2.10 • Systèmes affines
2.10.2 Résolution dans le cas d’un système de Cramer
Gardons les notations de 2.10.1 p. 68, et notons r = rg(A).
Le système (S) est dit de Cramer si et seulement si A est carrée et inversible, c'est-àdire : n = p = r.
Nous supposons ici cette condition réalisée. On a alors : AX = B ⇐⇒ X = A
−1 B. Ainsi, (S)
admet une solution et une seule, dont la détermination se déduit théoriquement du calcul de A
−1
(puis de A
−1 B).
Notons, pour 1 j n, C j =
a 1 j
. . .
a nj
la j ème colonne de A. Puisque A est inversible, la
famille F = (C 1 ,. . . ,C n ) est une base de M n,1 (K ). Il existe donc (x 1 ,. . . ,x p ) ∈ K
p unique tel
que B =
n
j=1
x j C j , et (S) admet donc une solution et une seule, qui est (x 1 ,. . . ,x p ) .
Soit k ∈ {1,. . . ,n} . On a :
det F (C 1 ,. . . ,C k−1 ,B,C k+1 ,. . . ,C n )= det F
C 1 ,. . . ,
n
j=1
x j C j ,. . . ,C n
=
n
j=1
x j det F (C 1 ,. . . ,C j ,. . . ,C n )
= x k det F (F) = x k ,
puisque, pour tout j de {1,. . . ,n} tel que j = k, det F (C 1 ,. . . ,C j ,. . . ,C n ) = 0 par répétition
d'une colonne.
En notant B la base canonique de M n,1 (K ), on a donc :
x k = det F (C 1 ,. . . ,C k−1 ,B,C k+1 ,. . . C n ) = det F (B) det B (C 1 ,. . . ,B,. . . ,C n )
=
det B (C 1 ,. . . ,C n )
−1 det B (C 1 ,. . . ,B,. . . ,C n ).
On a prouvé :
Proposition
Si A = (a i j ) i j ∈ GL n (K ) et (b 1 ,. . . ,b n ) ∈ K n , le système
(S)
a 11 x 1 + . . . + a 1n x n = b 1
. . .
. . .
. . .
a n1 x 1 + . . . + a nn x n = b n
d'inconnue (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ K n admet une solution et une seule, et, pour tout k de
{1,. . . ,n}:
x k =
1
det(A)
a 11 . . . a 1k−1 b 1 a 1 k+1 . . . a 1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1 . . . a n k−1 b n a n k+1 . . . a nn
.
Les formules précédentes, donnant x k (1 k n) s'appellent les formules de Cramer .
Remarque :
Dès que n 3 , les formules de Cramer sont quasiment impraticables dans les exemples
numériques. On préfèrera souvent une méthode de combinaisons des équations et d'élimination d'inconnues.
Utilisation de la multilinéarité du
déterminant.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le déterminant qui apparaît est obtenu
en remplaçant la k è colonne de A par
la colonne des seconds membres du
système.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 2.10.1 à 2.10.4.
2.10 • Systèmes affines
2.10.2 Résolution dans le cas d’un système de Cramer
Gardons les notations de 2.10.1 p. 68, et notons r = rg(A).
Le système (S) est dit de Cramer si et seulement si A est carrée et inversible, c'est-àdire : n = p = r.
Nous supposons ici cette condition réalisée. On a alors : AX = B ⇐⇒ X = A
−1 B. Ainsi, (S)
admet une solution et une seule, dont la détermination se déduit théoriquement du calcul de A
−1
(puis de A
−1 B).
Notons, pour 1 j n, C j =
a 1 j
. . .
a nj
la j ème colonne de A. Puisque A est inversible, la
famille F = (C 1 ,. . . ,C n ) est une base de M n,1 (K ). Il existe donc (x 1 ,. . . ,x p ) ∈ K
p unique tel
que B =
n
j=1
x j C j , et (S) admet donc une solution et une seule, qui est (x 1 ,. . . ,x p ) .
Soit k ∈ {1,. . . ,n} . On a :
det F (C 1 ,. . . ,C k−1 ,B,C k+1 ,. . . ,C n )= det F
C 1 ,. . . ,
n
j=1
x j C j ,. . . ,C n
=
n
j=1
x j det F (C 1 ,. . . ,C j ,. . . ,C n )
= x k det F (F) = x k ,
puisque, pour tout j de {1,. . . ,n} tel que j = k, det F (C 1 ,. . . ,C j ,. . . ,C n ) = 0 par répétition
d'une colonne.
En notant B la base canonique de M n,1 (K ), on a donc :
x k = det F (C 1 ,. . . ,C k−1 ,B,C k+1 ,. . . C n ) = det F (B) det B (C 1 ,. . . ,B,. . . ,C n )
=
det B (C 1 ,. . . ,C n )
−1 det B (C 1 ,. . . ,B,. . . ,C n ).
On a prouvé :
Proposition
Si A = (a i j ) i j ∈ GL n (K ) et (b 1 ,. . . ,b n ) ∈ K n , le système
(S)
a 11 x 1 + . . . + a 1n x n = b 1
. . .
. . .
. . .
a n1 x 1 + . . . + a nn x n = b n
d'inconnue (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ K n admet une solution et une seule, et, pour tout k de
{1,. . . ,n}:
x k =
1
det(A)
a 11 . . . a 1k−1 b 1 a 1 k+1 . . . a 1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1 . . . a n k−1 b n a n k+1 . . . a nn
.
Les formules précédentes, donnant x k (1 k n) s'appellent les formules de Cramer .
Remarque :
Dès que n 3 , les formules de Cramer sont quasiment impraticables dans les exemples
numériques. On préfèrera souvent une méthode de combinaisons des équations et d'élimination d'inconnues.
Utilisation de la multilinéarité du
déterminant.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le déterminant qui apparaît est obtenu
en remplaçant la k è colonne de A par
la colonne des seconds membres du
système.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 2.10.1 à 2.10.4.