Chapitre 2 • Déterminants
68
2.10 Systèmes affines
2.10.1 Position du problème
Soient A =
a 11 . . . a 1 p
. . .
. . .
a n1 . . . a np
∈ M n, p (K ), B =
b 1
. . .
b n
∈ M n,1 (K ).
On s'intéresse au système d'équations :
(S)
a 11 x 1 + . . . + a 1 p x p = b 1
. . .
. . .
. . .
a n1 x 1 + . . . + a np x p = b n
,
d'inconnue (x 1 ,. . . ,x p ) ∈ K
p , appelé système affine.
En notant S l'ensemble des solutions de (S) dans K
p , il s'agit de savoir si S est vide ou non, et,
lorsque S = ∅, d'expliciter les éléments de S.
1) Interprétation matricielle
En notant X =
x 1
. . .
x p
∈ M p,1 (K ),(x 1 ,. . . ,x p ) est solution de (S) dans K
p si et seulement si :
AX = B. Ainsi, la résolution de (S) se ramène à celle de l'équation matricielle AX = B, d'inconnue X ∈ M p,1 (K ).
2) Interprétation vectorielle
Soient :
E un K -ev de dimension p
F un K -ev de dimension n
B une base de E, C une base de F
f ∈ L(E,F) telle que Mat B,C ( f ) = A
b ∈ F tel que Mat C (b) = B
x ∈ E tel que Mat B (x) = X.
On a : AX = B ⇐⇒ f (x) = b ⇐⇒ x ∈ f
−1
({b}).
Ainsi, la résolution de (S) revient à la détermination de l'image réciproque du singleton {b}
par f.
3) Interprétation affine
Notons, pour i ∈ {1,. . . ,n}, ϕ i : K
p
−→ K l'application définie par :
∀ (x 1 ,. . . ,x p ) ∈ K
p , ϕ i (x 1 ,. . . ,x p ) =
p
j=1
a i j x j .
Il est clair que ϕ 1 ,. . . ,ϕ n sont des formes linéaires sur K
p .
On a, pour tout (x 1 ,. . . ,x p ) de K
p :
(S) ⇐⇒ (∀ i ∈ {1,. . . ,n}, ϕ i (x) = b i ) ⇐⇒ x ∈
n
i=1
ϕ
−1
i ({b i }) .
Pour i ∈ {1,. . . ,n}, si (a i1 ,. . . ,a i p ) = (0,. . . ,0), ϕ
−1
i ({b i }) est un hyperplan affine de K
p .
Résoudre (S) revient donc à déterminer l'intersection d'une famille finie d'hyperplans affines.
(S) est un système affine à n équations
et p inconnues.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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2.10 Systèmes affines
2.10.1 Position du problème
Soient A =
a 11 . . . a 1 p
. . .
. . .
a n1 . . . a np
∈ M n, p (K ), B =
b 1
. . .
b n
∈ M n,1 (K ).
On s'intéresse au système d'équations :
(S)
a 11 x 1 + . . . + a 1 p x p = b 1
. . .
. . .
. . .
a n1 x 1 + . . . + a np x p = b n
,
d'inconnue (x 1 ,. . . ,x p ) ∈ K
p , appelé système affine.
En notant S l'ensemble des solutions de (S) dans K
p , il s'agit de savoir si S est vide ou non, et,
lorsque S = ∅, d'expliciter les éléments de S.
1) Interprétation matricielle
En notant X =
x 1
. . .
x p
∈ M p,1 (K ),(x 1 ,. . . ,x p ) est solution de (S) dans K
p si et seulement si :
AX = B. Ainsi, la résolution de (S) se ramène à celle de l'équation matricielle AX = B, d'inconnue X ∈ M p,1 (K ).
2) Interprétation vectorielle
Soient :
E un K -ev de dimension p
F un K -ev de dimension n
B une base de E, C une base de F
f ∈ L(E,F) telle que Mat B,C ( f ) = A
b ∈ F tel que Mat C (b) = B
x ∈ E tel que Mat B (x) = X.
On a : AX = B ⇐⇒ f (x) = b ⇐⇒ x ∈ f
−1
({b}).
Ainsi, la résolution de (S) revient à la détermination de l'image réciproque du singleton {b}
par f.
3) Interprétation affine
Notons, pour i ∈ {1,. . . ,n}, ϕ i : K
p
−→ K l'application définie par :
∀ (x 1 ,. . . ,x p ) ∈ K
p , ϕ i (x 1 ,. . . ,x p ) =
p
j=1
a i j x j .
Il est clair que ϕ 1 ,. . . ,ϕ n sont des formes linéaires sur K
p .
On a, pour tout (x 1 ,. . . ,x p ) de K
p :
(S) ⇐⇒ (∀ i ∈ {1,. . . ,n}, ϕ i (x) = b i ) ⇐⇒ x ∈
n
i=1
ϕ
−1
i ({b i }) .
Pour i ∈ {1,. . . ,n}, si (a i1 ,. . . ,a i p ) = (0,. . . ,0), ϕ
−1
i ({b i }) est un hyperplan affine de K
p .
Résoudre (S) revient donc à déterminer l'intersection d'une famille finie d'hyperplans affines.
(S) est un système affine à n équations
et p inconnues.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
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