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2.9 • Supplément : Rang et sous-matrices
Exemple :
Quel est le rang de A =
2 1 4 −3
4 0 6
1
∈ M 2,4 (R) ?
D'une part, rg(A) 2 car A ∈ M 2,4 (R) .
D'autre part, la matrice
2 1
4 0
, d'ordre 2, extraite de A , est inversible (car de déterminant −4, non nul).
On conclut : rg(A) = 2 .
Le Corollaire suivant se déduit clairement du théorème précédent, bien qu’on l’ait utilisé dans
la preuve précédente.
Corollaire
∀ A ∈ M n, p (K ), rg(
t A) = rg(A).
Cf. aussi Algèbre PCSI-PTSI 8.2.3 Cor. 2.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 2.9.1 à 2.9.4.
Les méthodes à retenir
Rang et sous-matrices
• Comme dans la rubrique « Les méthodes à retenir » p. 54, lorsque com(A) intervient, on utilisera fréquemment
les formules :
A t com(A) = t com(A)A = det(A)I n
(ex. 2.9.1 à 2.9.4).
2.9.1 Soient n ∈ N − {0,1}, A ∈ M n (K ).
Démontrer :



rg(A) n − 2 ⇒ rg
com(A)
= 0
rg(A) = n − 1 ⇒ rg
com(A)
= 1
rg(A) = n
⇒ rg
com(A)
= n.
2.9.2
Soient n ∈ N − {0,1}, A ∈ M n (K ), p ∈ N
∗ .
Calculer com (com(. . . (com(A)) . . .)) , où com est itéré p
fois. (On pourra utiliser l'exercice 2.9.1).
2.9.3
Soient n ∈ N − {0,1}, A ∈ M n (K ) telle que
rg(A) = n − 1 , B ∈ M n (K ) telle que AB = B A = 0 .
Démontrer : ∃γ ∈ K ,B = γ
t com(A).
2.9.4 Soient n ∈ N − {0,1}.
A =



1 − n
1
1
1 − n


 ∈ M n (K ).
Exercices
Calculer com(A). (On pourra utiliser les exercices 2.9.1 et
2.9.3).