Chapitre 2 • Déterminants
66
2) Étude des sous-matrices d’une matrice
Définition
Soient (n, p) ∈ (N ∗ )
2 , A = (a i j ) i j ∈ M n, p (K ), (u,v) ∈ (N ∗ )
2 ,
(i 1 ,. . . ,i u ) ∈ {1,. . . ,n} u tel que i 1 < . . . < i u
( j 1 ,. . . , j v ) ∈ {1,. . . ,p} v tel que j 1 < . . . < j v
.
On appelle sous-matrice (ou: matrice extraite) de A, par utilisation des lignes
i 1 ,. . . ,i u et des colonnes j 1 ,. . . , j v , la matrice (a i k j l ) 1ku
1lv
de M u,v (K ).
Exemple :
La matrice
a
c
d
a
c
d
est une sous-matrice de
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
, par utilisation
des lignes 1, 3 et des colonnes 1,3,4 :
a
b
c
d
a'
b'
c'
d'
a''
b''
c''
d''
Lignes
Colonnes
1
1
2
3
4
2
3
Théorème
Pour toute A de M n, p (K ) , le rang de A est égal à l'ordre maximum des sousmatrices carrées inversibles extraites de A.
Preuve
Notons r = rg(A), et s l'ordre maximum des sous-matrices carrées inversibles extraites
de A.
1) r s
Soit B une sous-matrice carrée de A, α l'ordre de B, et supposons α > r. Notons i 1 ,. . . ,i α
(i 1 < . . . < i α ) les numéros des lignes de A utilisées pour extraire B,v 1 ,. . . ,v α les colonnes de B (dans
M α,1 (K )) , V 1 ,. . . ,V α les colonnes de A utilisées pour extraire B (dans M n,1 (K )) .
Puisque α > r, la famille (V 1 ,. . . ,V α ) est liée. Il existe (λ 1 ,. . . ,λ α ) ∈ K
α
− {(0,. . . ,0)} tel que
α
i=1
λ i V i = 0. Il en résulte, en ne prenant que les lignes numéros i 1 ,. . . ,i α :
α
i=1
λ i v i = 0, et donc B
n'est pas inversible. Ceci montre : r s.
2) r s
Notons C 1 ,. . . ,C n les colonnes de A.
Puisque r = rg(A) = rg(C 1 ,. . . ,C n ) , il existe j 1 ,. . . , j r ∈ {1,. . . ,n} tels que : j 1 < . . . < j r et
(C j 1 ,. . . ,C jr ) est libre.
Notons B = (C j 1 ,. . . ,C jr ) la sous-matrice de A formée par les colonnes C j 1 ,. . . ,C jr de A.
On a, d’après Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.3 Cor.2 : rg(
t B) = rg(B) = r. Il existe donc
i 1 ,. . . ,i r ∈ {1,. . . ,n} tels que : i 1 < . . . < i r et les lignes numéros i 1 à i r de B forment une famille libre.
Notons C la sous-matrice de B formée par les lignes numéros i 1 à i r de B.
Alors, C est une sous-matrice carrée d’ordre r de A et C est inversible, d’où : r s
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2) Étude des sous-matrices d’une matrice
Définition
Soient (n, p) ∈ (N ∗ )
2 , A = (a i j ) i j ∈ M n, p (K ), (u,v) ∈ (N ∗ )
2 ,
(i 1 ,. . . ,i u ) ∈ {1,. . . ,n} u tel que i 1 < . . . < i u
( j 1 ,. . . , j v ) ∈ {1,. . . ,p} v tel que j 1 < . . . < j v
.
On appelle sous-matrice (ou: matrice extraite) de A, par utilisation des lignes
i 1 ,. . . ,i u et des colonnes j 1 ,. . . , j v , la matrice (a i k j l ) 1ku
1lv
de M u,v (K ).
Exemple :
La matrice
a
c
d
a
c
d
est une sous-matrice de
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
, par utilisation
des lignes 1, 3 et des colonnes 1,3,4 :
a
b
c
d
a'
b'
c'
d'
a''
b''
c''
d''
Lignes
Colonnes
1
1
2
3
4
2
3
Théorème
Pour toute A de M n, p (K ) , le rang de A est égal à l'ordre maximum des sousmatrices carrées inversibles extraites de A.
Preuve
Notons r = rg(A), et s l'ordre maximum des sous-matrices carrées inversibles extraites
de A.
1) r s
Soit B une sous-matrice carrée de A, α l'ordre de B, et supposons α > r. Notons i 1 ,. . . ,i α
(i 1 < . . . < i α ) les numéros des lignes de A utilisées pour extraire B,v 1 ,. . . ,v α les colonnes de B (dans
M α,1 (K )) , V 1 ,. . . ,V α les colonnes de A utilisées pour extraire B (dans M n,1 (K )) .
Puisque α > r, la famille (V 1 ,. . . ,V α ) est liée. Il existe (λ 1 ,. . . ,λ α ) ∈ K
α
− {(0,. . . ,0)} tel que
α
i=1
λ i V i = 0. Il en résulte, en ne prenant que les lignes numéros i 1 ,. . . ,i α :
α
i=1
λ i v i = 0, et donc B
n'est pas inversible. Ceci montre : r s.
2) r s
Notons C 1 ,. . . ,C n les colonnes de A.
Puisque r = rg(A) = rg(C 1 ,. . . ,C n ) , il existe j 1 ,. . . , j r ∈ {1,. . . ,n} tels que : j 1 < . . . < j r et
(C j 1 ,. . . ,C jr ) est libre.
Notons B = (C j 1 ,. . . ,C jr ) la sous-matrice de A formée par les colonnes C j 1 ,. . . ,C jr de A.
On a, d’après Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.3 Cor.2 : rg(
t B) = rg(B) = r. Il existe donc
i 1 ,. . . ,i r ∈ {1,. . . ,n} tels que : i 1 < . . . < i r et les lignes numéros i 1 à i r de B forment une famille libre.
Notons C la sous-matrice de B formée par les lignes numéros i 1 à i r de B.
Alors, C est une sous-matrice carrée d’ordre r de A et C est inversible, d’où : r s