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2.9 • Supplément : Rang et sous-matrices
• Si det( f ) > 0, alors det B
f (B)
= det( f ) > 0, et donc B et f (B)sont de même sens
• Si det( f ) < 0, alors det B
f (B)
= det( f ) < 0, et donc B et f (B) sont de sens contraires.
D'où la Définition et la Proposition suivantes.
Définition 3
Soit f ∈ GL(E) . On dit que :
• f conserve l'orientation (ou: est direct) si et seulement si : det( f ) > 0.
• f change l'orientation (ou: est indirect) si et seulement si : det( f ) < 0.
Proposition
Soit f ∈ GL(E).
1) Si f conserve l'orientation, alors, pour toute base B de E, f (B) est une base de
même sens que B.
2) Si f change l'orientation, alors, pour toute base Bde E, f (B) est une base de sens
contraire de B.
2.9 Supplément : Rang et sous-matrices
Ce paragraphe n’est pas au programme, mais constitue une étude classique.
1)Rappels sur le rang
Nous avons défini :
• le rang d'une famille finie F d'éléments d'un K-ev E :
rg(F) = dim
Vect(F)
, Algèbre PCSI-PTSI 6.4 Déf. 3
• le rang d'une application linéaire f ∈ L(E,F) :
rg( f ) = dim
Im( f )
, Algèbre PCSI-PTSI 7.3.1 Déf.
• le rang d'une matrice A de M n, p (K ) :
rg(A) = rg(C 1 ,. . . ,C p ), Algèbre PCSI-PTSI 8.1.6 Déf.,
où C 1 ,. . . ,C p sont les colonnes de A.
Ces notions sont reliées entre elles :
• le rang d'une famille finie F d'éléments de E est aussi le rang de la matrice dont les colonnes
sont formées par les composantes des éléments de F dans une base de E
• le rang de f ∈ L(E,F) est, pour toute base B = (e 1 ,. . . ,e p ) de E , le rang de la famille
f (e i )
1in
, et est aussi le rang de n'importe quelle matrice représentant f.
• le rang de A ∈ M n, p (K ) est le rang de n'importe quelle application linéaire représentée par A.
Rappelons enfin le théorème du rang (Algèbre PCSI-PTSI 7.3.1 Th. 1) :
∀ f ∈ L(E,F), rg( f ) = dim(E) − dim
Ker( f )
.
On a ainsi pour f (B), en quelque sorte,
une règle des signes :
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
B
directe indirecte
f
direct
directe indirecte
indirect indirecte directe
Les différentes notions de rang.
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Gé
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Les différentes notions de rang.
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2.9 • Supplément : Rang et sous-matrices
• Si det( f ) > 0, alors det B
f (B)
= det( f ) > 0, et donc B et f (B)sont de même sens
• Si det( f ) < 0, alors det B
f (B)
= det( f ) < 0, et donc B et f (B) sont de sens contraires.
D'où la Définition et la Proposition suivantes.
Définition 3
Soit f ∈ GL(E) . On dit que :
• f conserve l'orientation (ou: est direct) si et seulement si : det( f ) > 0.
• f change l'orientation (ou: est indirect) si et seulement si : det( f ) < 0.
Proposition
Soit f ∈ GL(E).
1) Si f conserve l'orientation, alors, pour toute base B de E, f (B) est une base de
même sens que B.
2) Si f change l'orientation, alors, pour toute base Bde E, f (B) est une base de sens
contraire de B.
2.9 Supplément : Rang et sous-matrices
Ce paragraphe n’est pas au programme, mais constitue une étude classique.
1)Rappels sur le rang
Nous avons défini :
• le rang d'une famille finie F d'éléments d'un K-ev E :
rg(F) = dim
Vect(F)
, Algèbre PCSI-PTSI 6.4 Déf. 3
• le rang d'une application linéaire f ∈ L(E,F) :
rg( f ) = dim
Im( f )
, Algèbre PCSI-PTSI 7.3.1 Déf.
• le rang d'une matrice A de M n, p (K ) :
rg(A) = rg(C 1 ,. . . ,C p ), Algèbre PCSI-PTSI 8.1.6 Déf.,
où C 1 ,. . . ,C p sont les colonnes de A.
Ces notions sont reliées entre elles :
• le rang d'une famille finie F d'éléments de E est aussi le rang de la matrice dont les colonnes
sont formées par les composantes des éléments de F dans une base de E
• le rang de f ∈ L(E,F) est, pour toute base B = (e 1 ,. . . ,e p ) de E , le rang de la famille
f (e i )
1in
, et est aussi le rang de n'importe quelle matrice représentant f.
• le rang de A ∈ M n, p (K ) est le rang de n'importe quelle application linéaire représentée par A.
Rappelons enfin le théorème du rang (Algèbre PCSI-PTSI 7.3.1 Th. 1) :
∀ f ∈ L(E,F), rg( f ) = dim(E) − dim
Ker( f )
.
On a ainsi pour f (B), en quelque sorte,
une règle des signes :
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B
directe indirecte
f
direct
directe indirecte
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Les différentes notions de rang.
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