Chapitre 2 • Déterminants
64
2.8 Orientation d'un espace vectoriel
réel de dimension finie
Soient n ∈ N
∗ et E un R -ev de dimension n. On note β(E) l'ensemble des bases de E .
1) Bases directes, bases indirectes
Définition 1
On dit que deux bases B,B de E sont :
• de même sens si et seulement si : det B (B ) > 0.
• de sens contraires si et seulement si : det B (B ) < 0.
Notons R la relation définie dans β(E) par :
∀ B,B
∈ β(E), (B R B
⇐⇒ det B (B) > 0).
La relation B est une relation d'équivalence dans β(E) car, pour toutes B,B
,B
de β(E) :
• det B (B) = 1 > 0
• B R B
⇐⇒ det B (B
) > 0 ⇒ det B (B) = (det B (B
))
−1 > 0 ⇒ B
R B
•
B R B
B
R B
⇐⇒
det B (B) > 0
det B (B
) > 0
⇒ det B (B) = det B (B
)det B (B) > 0
⇒ B R B
.
Le R -ev E , étant de dimension finie, admet au moins une base B 1 = (e 1 ,. . . ,e n ) ; considérons
B 2 = (−e 1 ,e 2 ,. . . ,e n ), qui est une base de E . Comme det B 1 (B 2 ) = −1 < 0, B 1 et B 2 sont de
sens contraires.
Soit B ∈ β(E).
• Si det B 1 (B) > 0, alors B 1 R B
• Si det B 1 (B) < 0, alors det B 2 (B) = det B 2 (B 1 )det B 1 (B) = −det B 1 (B) > 0, donc B 2 R B.
Ceci montre que β(E) admet exactement deux classes d'équivalence modulo R, qui sont la
classe de B 1 et la classe de B 2 . D'où la définition suivante.
Définition 2
On appelle orientation de E le choix, dans l'ensemble β(E) des bases de E, de l'une
des deux classes d'équivalence modulo la relation « est de même sens que ». Les
bases de cette classe sont alors dites directes, les autres bases (celles de l'autre classe) sont dites indirectes. On dit alors que E est un R-ev orienté.
On convient que la base canonique de R n est directe (ce qui revient à choisir une
orientation dans R n ).
On appelle axe toute droite vectorielle orientée.
2) Endomorphismes directs, endomorphismes indirects
Soit f ∈ GL(E) . Comme det( f ) = 0, on a : det( f ) > 0 ou det( f ) < 0.
Soit B ∈ β(E).
Puisque R est totalement ordonné et
que, pour toutes bases B,B
de E ,
det B (B
) = 0 , deux bases données
sont de même sens ou sont de sens
contraires.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Par définition, une relation est dite
d’équivalence si et seulement si elle
est : réflexive, symétrique, transitive.
B 2 est obtenue à partir de B 1 en
remplaçant e 1 par −e 1 .
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2.8 Orientation d'un espace vectoriel
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Soient n ∈ N
∗ et E un R -ev de dimension n. On note β(E) l'ensemble des bases de E .
1) Bases directes, bases indirectes
Définition 1
On dit que deux bases B,B de E sont :
• de même sens si et seulement si : det B (B ) > 0.
• de sens contraires si et seulement si : det B (B ) < 0.
Notons R la relation définie dans β(E) par :
∀ B,B
∈ β(E), (B R B
⇐⇒ det B (B) > 0).
La relation B est une relation d'équivalence dans β(E) car, pour toutes B,B
,B
de β(E) :
• det B (B) = 1 > 0
• B R B
⇐⇒ det B (B
) > 0 ⇒ det B (B) = (det B (B
))
−1 > 0 ⇒ B
R B
•
B R B
B
R B
⇐⇒
det B (B) > 0
det B (B
) > 0
⇒ det B (B) = det B (B
)det B (B) > 0
⇒ B R B
.
Le R -ev E , étant de dimension finie, admet au moins une base B 1 = (e 1 ,. . . ,e n ) ; considérons
B 2 = (−e 1 ,e 2 ,. . . ,e n ), qui est une base de E . Comme det B 1 (B 2 ) = −1 < 0, B 1 et B 2 sont de
sens contraires.
Soit B ∈ β(E).
• Si det B 1 (B) > 0, alors B 1 R B
• Si det B 1 (B) < 0, alors det B 2 (B) = det B 2 (B 1 )det B 1 (B) = −det B 1 (B) > 0, donc B 2 R B.
Ceci montre que β(E) admet exactement deux classes d'équivalence modulo R, qui sont la
classe de B 1 et la classe de B 2 . D'où la définition suivante.
Définition 2
On appelle orientation de E le choix, dans l'ensemble β(E) des bases de E, de l'une
des deux classes d'équivalence modulo la relation « est de même sens que ». Les
bases de cette classe sont alors dites directes, les autres bases (celles de l'autre classe) sont dites indirectes. On dit alors que E est un R-ev orienté.
On convient que la base canonique de R n est directe (ce qui revient à choisir une
orientation dans R n ).
On appelle axe toute droite vectorielle orientée.
2) Endomorphismes directs, endomorphismes indirects
Soit f ∈ GL(E) . Comme det( f ) = 0, on a : det( f ) > 0 ou det( f ) < 0.
Soit B ∈ β(E).
Puisque R est totalement ordonné et
que, pour toutes bases B,B
de E ,
det B (B
) = 0 , deux bases données
sont de même sens ou sont de sens
contraires.
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Par définition, une relation est dite
d’équivalence si et seulement si elle
est : réflexive, symétrique, transitive.
B 2 est obtenue à partir de B 1 en
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