63
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2.7 • Calcul des déterminants
k)
n ∈ N ∗ , a ∈ K .
2.7.2 Montrer que
E =
x
y z
2z x y
2y 2z x
; (x,y,z) ∈ Q 3
est un sous-corps de l'anneau M 3 (Q) .
2.7.3 Soit A =
a b c
d e f
g h k
∈ M 3 (R).
a) Montrer qu'il est impossible que : le produit des éléments dans chaque ligne (de A ) soit < 0 et le produit dans
chaque colonne soit > 0.
b) Montrer qu'il est impossible que les six termes de
det(A) = aek + b f g + cdh + (ceg) + (−a f h) + (−bdk)
soient tous > 0 .
2.7.4 Calculer det( f ) , où f : M n (R) −→ M n (R)
X −→ t X
.
2.7.5 Pour ( p,x) ∈ N × R , on note :
−(a + 1)
1
0
0
a
−(a + 2)
2
0
0
a
−(a + 3)
0
n − 1
0
0
0
a
−(a + n)
,
. .
. . .
.
. .
. . .
.
. .
. . .
.
. .
. . .
.
. .
.
2.7.6 Soient n ∈ N − {0,1} , P n = X n − X + 1.
On note x 1 ,. . . ,x n les zéros de P n dans C .
Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (C) où :
a i j =
1 + x i si i = j
1
si i = j
. Calculer det(A) .
2.7.7 Soient n ∈ N ∗ , E un K -ev de dimension n ,
V 1 ,. . . ,V n ∈ E , f ∈ L(E) , B une base de E.
Démontrer :
n
j=1
det B (V 1 ,. . . , f (V j ),. . . ,V n )
= tr( f ) det B (V 1 ,. . . ,V n ).
2.7.8 Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (R) telle que, pour tout (i, j)
de {1,. . . ,n} 2 :
a i j ∈ Z
i = j ⇒ a i j pair
a ii impair.
Montrer : det(A) = 0 .
2.7.9 Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (R) telle que, pour tout (i, j)
de {1,. . . ,n} 2 :
a i j ∈ Z
i = j ⇒ a i j impair
a ii pair
.
Montrer que, si n est pair, alors det(A) = 0 .
2.7.10 Montrer :
∀ (A,B) ∈ (M n (R)) 2 , det
A B
−B A
0.
2.7.11 Soient A,B,C,D,X ∈ M n (K ) telles que A + B X
soit inversible. Montrer :
det
A B
C D
= det(A + B X) det
−(C + D X)(A+ B X)
−1 B + D
.
Examiner le cas particulier X = 0.
ϕ p (x) =
1
0
0
0
x
2
0
0
x 2
3
3
0
.
.
.
4
6
. . .
0
. .
.
. .
.
C
p−1
p
x p
1 C
1
p+1
C
2
p+1
. . .
C
p−1
p+1
x p+1
[ p+1]
.
.
. .
.
.
. . .
. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
.
a) Pour ( p,x) ∈ N × R , calculer ϕ p (x + 1) − ϕ p (x).
b) Montrer : ∀ n ∈ N ∗ , ϕ p (n + 1) = ( p + 1)!
n
k=1
k
p .
c) En déduire les valeurs de
n
k=1
k,
n
k=1
k 2 ,
n
k=1
k 3 , pour
n ∈ N ∗ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2.7 • Calcul des déterminants
k)
n ∈ N ∗ , a ∈ K .
2.7.2 Montrer que
E =
x
y z
2z x y
2y 2z x
; (x,y,z) ∈ Q 3
est un sous-corps de l'anneau M 3 (Q) .
2.7.3 Soit A =
a b c
d e f
g h k
∈ M 3 (R).
a) Montrer qu'il est impossible que : le produit des éléments dans chaque ligne (de A ) soit < 0 et le produit dans
chaque colonne soit > 0.
b) Montrer qu'il est impossible que les six termes de
det(A) = aek + b f g + cdh + (ceg) + (−a f h) + (−bdk)
soient tous > 0 .
2.7.4 Calculer det( f ) , où f : M n (R) −→ M n (R)
X −→ t X
.
2.7.5 Pour ( p,x) ∈ N × R , on note :
−(a + 1)
1
0
0
a
−(a + 2)
2
0
0
a
−(a + 3)
0
n − 1
0
0
0
a
−(a + n)
,
. .
. . .
.
. .
. . .
.
. .
. . .
.
. .
. . .
.
. .
.
2.7.6 Soient n ∈ N − {0,1} , P n = X n − X + 1.
On note x 1 ,. . . ,x n les zéros de P n dans C .
Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (C) où :
a i j =
1 + x i si i = j
1
si i = j
. Calculer det(A) .
2.7.7 Soient n ∈ N ∗ , E un K -ev de dimension n ,
V 1 ,. . . ,V n ∈ E , f ∈ L(E) , B une base de E.
Démontrer :
n
j=1
det B (V 1 ,. . . , f (V j ),. . . ,V n )
= tr( f ) det B (V 1 ,. . . ,V n ).
2.7.8 Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (R) telle que, pour tout (i, j)
de {1,. . . ,n} 2 :
a i j ∈ Z
i = j ⇒ a i j pair
a ii impair.
Montrer : det(A) = 0 .
2.7.9 Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (R) telle que, pour tout (i, j)
de {1,. . . ,n} 2 :
a i j ∈ Z
i = j ⇒ a i j impair
a ii pair
.
Montrer que, si n est pair, alors det(A) = 0 .
2.7.10 Montrer :
∀ (A,B) ∈ (M n (R)) 2 , det
A B
−B A
0.
2.7.11 Soient A,B,C,D,X ∈ M n (K ) telles que A + B X
soit inversible. Montrer :
det
A B
C D
= det(A + B X) det
−(C + D X)(A+ B X)
−1 B + D
.
Examiner le cas particulier X = 0.
ϕ p (x) =
1
0
0
0
x
2
0
0
x 2
3
3
0
.
.
.
4
6
. . .
0
. .
.
. .
.
C
p−1
p
x p
1 C
1
p+1
C
2
p+1
. . .
C
p−1
p+1
x p+1
[ p+1]
.
.
. .
.
.
. . .
. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
.
a) Pour ( p,x) ∈ N × R , calculer ϕ p (x + 1) − ϕ p (x).
b) Montrer : ∀ n ∈ N ∗ , ϕ p (n + 1) = ( p + 1)!
n
k=1
k
p .
c) En déduire les valeurs de
n
k=1
k,
n
k=1
k 2 ,
n
k=1
k 3 , pour
n ∈ N ∗ .