Chapitre 2 • Déterminants
62
– remplacer une colonne par la somme de celle-ci et d’une combinaison linéaire des autres colonnes. Cette opération pourra se faire d’une manière successive ou simultanée, à condition dans ce dernier cas de n’utiliser que les
colonnes suivantes ou que les colonnes précédentes (de même pour les lignes)
– développer par rapport à une rangée, lorsque cette rangée ne comporte qu’un (ou deux) termes non nuls, ce qui
fera souvent apparaître une relation de récurrence (ex. 2.7.1 e) à i)).
En général, on essaiera de présenter le résultat (calcul d’un déterminant) sous forme factorisée.
• Pour calculer le déterminant d’un endomorphisme f, il peut être utile de considérer la matrice A de f dans une
base convenable et de calculer det(A), puisque det( f ) = det(A) (ex. 2.7.4).
• Lorsqu’interviennent des blocs, penser à utiliser le résultat sur le déterminant d’une matrice triangulaire par
blocs (ex. 2.7.10, 2.7.11).
2.7.1 Calculer les déterminants suivants :
a)
1 2
2 2
3 2
. . .
n 2
2 2
3 2
4 2
. . . (n + 1) 2
3 2
4 2
5 2
. . . (n + 2) 2
. . .
. . .
. . .
. . .
n 2 (n + 1) 2 (n + 2) 2 . . . (2n − 1) 2
, n ∈ N ∗
b)
S 1 S 1 S 1
S 1
S 1 S 2 S 2
S 2
S 1 S 2 S 3
S 3
. . .
S 1 S 2 S 3
S n
, n ∈ N ∗ , S k =
k
i=1
i
c)
d)
a 1 + b 1
a 1
a 1
a 1
a 2
a 2 + b 2
a 2
a 2
a 3
a 3
a 3 + b 3
. . .
a 3
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n
a n
a n
. . .
a n + b n
,
n ∈ N ∗ , a 1 ,. . . ,a n ,b 1 ,. . . ,b n ∈ K
e)
n ∈ N ∗ , a 1 ,. . . ,a n ∈ K
a 1
−a 1
0
0
−a 1 a 1 + a 2
−a 2
0
−a 2
a 2 + a 3
0
0
a n−2 + a n−1 −a n−1
0
0
−a n−1
a n−1 + a n
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
0
,
a 1 a 2
. . . a n
. . .
a 1
a 2
a 1
, n ∈ N , a 1 ,. . . ,a n ∈ K
*
f)
(on exprimera la réponse à l'aide des zéros complexes de
X 2 − aX + bc )
g) det(( C
j
i+ j ) 0i, jn )
=
C
0
0
C
1
1
. . .
C
n
n
C
0
1
C
1
2
. . . C
n
n+1
. . .
. . .
. . .
C
0
n
C
1
n+1 . . .
C
n
2n
[n+1]
, n ∈ N
h)
n ∈ N ∗ , α, a 1 ,. . . ,a n ∈ K
i)
n ∈ N ∗ , a 1 ,. . . ,a n ,b 1 ,. . . ,b n ∈ K
j)
a
x
x
y
z
0
y
0
z
[n]
, n ∈ N a,x,y,z ∈ K
,
*
1 −a 1 −a 2 . . . −a n
a 1 b 1
0
a 2
0
b 2
0
.
.
.
0
. . .
a n
b n
[n+1]
,
. . .
α + a 1 −1
0
0
a 2
α
−1
0
a 3
0
α
0
.
. .
0
−1
a n
0
0
α
,
a
b
c
0
b
0
c
a
[n]
, n ∈ N , a,b,c) ∈ C
3
(
*
Exercices
62
– remplacer une colonne par la somme de celle-ci et d’une combinaison linéaire des autres colonnes. Cette opération pourra se faire d’une manière successive ou simultanée, à condition dans ce dernier cas de n’utiliser que les
colonnes suivantes ou que les colonnes précédentes (de même pour les lignes)
– développer par rapport à une rangée, lorsque cette rangée ne comporte qu’un (ou deux) termes non nuls, ce qui
fera souvent apparaître une relation de récurrence (ex. 2.7.1 e) à i)).
En général, on essaiera de présenter le résultat (calcul d’un déterminant) sous forme factorisée.
• Pour calculer le déterminant d’un endomorphisme f, il peut être utile de considérer la matrice A de f dans une
base convenable et de calculer det(A), puisque det( f ) = det(A) (ex. 2.7.4).
• Lorsqu’interviennent des blocs, penser à utiliser le résultat sur le déterminant d’une matrice triangulaire par
blocs (ex. 2.7.10, 2.7.11).
2.7.1 Calculer les déterminants suivants :
a)
1 2
2 2
3 2
. . .
n 2
2 2
3 2
4 2
. . . (n + 1) 2
3 2
4 2
5 2
. . . (n + 2) 2
. . .
. . .
. . .
. . .
n 2 (n + 1) 2 (n + 2) 2 . . . (2n − 1) 2
, n ∈ N ∗
b)
S 1 S 1 S 1
S 1
S 1 S 2 S 2
S 2
S 1 S 2 S 3
S 3
. . .
S 1 S 2 S 3
S n
, n ∈ N ∗ , S k =
k
i=1
i
c)
d)
a 1 + b 1
a 1
a 1
a 1
a 2
a 2 + b 2
a 2
a 2
a 3
a 3
a 3 + b 3
. . .
a 3
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n
a n
a n
. . .
a n + b n
,
n ∈ N ∗ , a 1 ,. . . ,a n ,b 1 ,. . . ,b n ∈ K
e)
n ∈ N ∗ , a 1 ,. . . ,a n ∈ K
a 1
−a 1
0
0
−a 1 a 1 + a 2
−a 2
0
−a 2
a 2 + a 3
0
0
a n−2 + a n−1 −a n−1
0
0
−a n−1
a n−1 + a n
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
0
,
a 1 a 2
. . . a n
. . .
a 1
a 2
a 1
, n ∈ N , a 1 ,. . . ,a n ∈ K
*
f)
(on exprimera la réponse à l'aide des zéros complexes de
X 2 − aX + bc )
g) det(( C
j
i+ j ) 0i, jn )
=
C
0
0
C
1
1
. . .
C
n
n
C
0
1
C
1
2
. . . C
n
n+1
. . .
. . .
. . .
C
0
n
C
1
n+1 . . .
C
n
2n
[n+1]
, n ∈ N
h)
n ∈ N ∗ , α, a 1 ,. . . ,a n ∈ K
i)
n ∈ N ∗ , a 1 ,. . . ,a n ,b 1 ,. . . ,b n ∈ K
j)
a
x
x
y
z
0
y
0
z
[n]
, n ∈ N a,x,y,z ∈ K
,
*
1 −a 1 −a 2 . . . −a n
a 1 b 1
0
a 2
0
b 2
0
.
.
.
0
. . .
a n
b n
[n+1]
,
. . .
α + a 1 −1
0
0
a 2
α
−1
0
a 3
0
α
0
.
. .
0
−1
a n
0
0
α
,
a
b
c
0
b
0
c
a
[n]
, n ∈ N , a,b,c) ∈ C
3
(
*
Exercices