61
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2.7 • Calcul des déterminants
Exercice-type résolu
Exemple de calcul de déterminant
Soient n ∈ N
∗
, x, a 1 ,...,a n ∈ K . Calculer le déterminant d'ordre n + 1 suivant :
D n+1 =
x a 1 a 2 . . . . . . a n
a 1 x a 2 . . . . . . a n
a 1 a 2 x
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
x a n
a 1 a 2 . . . . . . a n
x
[n+1]
.
Conseils
On remarque que, dans chaque ligne de
D n+1 , la somme des termes est la même.
On remplace chaque colonne (sauf la première) par celle-ci diminuée du produit de
a j par la première colonne, pour faire apparaître des « 0 ».
Le déterminant d'une matrice triangulaire
est le produit des éléments de la diagonale.
Solution
Par C 1 ←− C 1 + (C 2 + · · · + C n+1 ), puis en mettant x +
n
j=1
a j en facteur dans la
première colonne, on obtient :
D n+1 =
x +
n
j=1
a j
1 a 1 a 2 . . . . . . a n
1 x a 2 . . . . . . a n
1 a 2 x
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
x a n
1 a 2 . . . . . . a n
x
[n+1]
.
Puis, en faisant C j ←− C j − a j C 1 pour j = 2,...,n + 1, on a :
D n+1 =
x +
n+1
j=1
a j
1
0
0
. . .
. . .
0
1 x − a 1
0
. . .
. . .
0
1 a 2 − a 1 x − a 2
. . .
(0)
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
x − a n−1
0
1 a 2 − a 1
. . .
. . .
. . .
x − a n
[n+1]
.
Enfin, ce dernier déterminant est celui d'une matrice triangulaire inférieure, et on
conclut :
D n+1 =
x +
n
j=1
a j
n
k=1
(x − a k ).
Les méthodes à retenir
Calcul des déterminants
• Pour calculer un déterminant, on pourra penser à :
– utiliser la multilinéarité et l’alternance du déterminant, pour remplacer le déterminant à calculer par une combinaison linéaire de déterminants mieux connus (ex. 2.7.1 d), 2.7.6)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2.7 • Calcul des déterminants
Exercice-type résolu
Exemple de calcul de déterminant
Soient n ∈ N
∗
, x, a 1 ,...,a n ∈ K . Calculer le déterminant d'ordre n + 1 suivant :
D n+1 =
x a 1 a 2 . . . . . . a n
a 1 x a 2 . . . . . . a n
a 1 a 2 x
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x a n
a 1 a 2 . . . . . . a n
x
[n+1]
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Conseils
On remarque que, dans chaque ligne de
D n+1 , la somme des termes est la même.
On remplace chaque colonne (sauf la première) par celle-ci diminuée du produit de
a j par la première colonne, pour faire apparaître des « 0 ».
Le déterminant d'une matrice triangulaire
est le produit des éléments de la diagonale.
Solution
Par C 1 ←− C 1 + (C 2 + · · · + C n+1 ), puis en mettant x +
n
j=1
a j en facteur dans la
première colonne, on obtient :
D n+1 =
x +
n
j=1
a j
1 a 1 a 2 . . . . . . a n
1 x a 2 . . . . . . a n
1 a 2 x
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x a n
1 a 2 . . . . . . a n
x
[n+1]
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Puis, en faisant C j ←− C j − a j C 1 pour j = 2,...,n + 1, on a :
D n+1 =
x +
n+1
j=1
a j
1
0
0
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0
1 x − a 1
0
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0
1 a 2 − a 1 x − a 2
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(0)
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x − a n−1
0
1 a 2 − a 1
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x − a n
[n+1]
.
Enfin, ce dernier déterminant est celui d'une matrice triangulaire inférieure, et on
conclut :
D n+1 =
x +
n
j=1
a j
n
k=1
(x − a k ).
Les méthodes à retenir
Calcul des déterminants
• Pour calculer un déterminant, on pourra penser à :
– utiliser la multilinéarité et l’alternance du déterminant, pour remplacer le déterminant à calculer par une combinaison linéaire de déterminants mieux connus (ex. 2.7.1 d), 2.7.6)