Chapitre 2 • Déterminants
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Proposition
∀ n ∈ N
∗
, ∀ (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ K
n
, V(x 1 ,. . . ,x n ) =
ni> j1
(x i − x j ).
Corollaire
Pour tout (x 1 ,. . . ,x n ) de K n , V (x 1 ,. . . ,x n ) est non nul si et seulement si x 1 ,. . . ,x n
sont deux à deux distincts.
2.7.5 Déterminant d’une matrice triangulaire
par blocs
Proposition 1
Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M n, p (K ), C ∈ M p (K ) .
On a :
det
A B
0 C
= det(A) det(C).
Preuve :
On remarque :
A B
0 C
=
I n 0
0 C
A B
0 I p
.
d'où : det
A B
0 C
= det
I n 0
0 C
det
A B
0 I p
.
En développant
I n 0
0 C
par rapport à la première ligne, de façon itérée, on obtient :
det
I n 0
0 C
= det(C).
De même, en développant
A B
0 I p
par rapport à la dernière ligne, de façon itérée, on obtient :
det
A B
0 I p
= det(A).
᭿
Proposition 2
Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est égal au produit des déterminants des blocs diagonaux :
det


A 11 . . .
. . .
0
A ss

 =
s
k=1
det(A kk ).
Preuve
Récurrence immédiate sur s en utilisant la Prop 1.
᭿
Le déterminant de Vandermonde peut
être utile en liaison avec l’algèbre des
polynômes.
Intervention d’une égalité matricielle
par blocs, puis passage aux
déterminants.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Attention : pour cette formule, A et C
doivent être des matrices carrées.
Exercices 2.7.10, 2.7.11.