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2.7 • Calcul des déterminants
2.7.4 Déterminant de Vandermonde
L’étude du déterminant de Vandermonde n’est pas au programme, mais c‘est un exercice
classique.
Soit n ∈ N
∗ .
Définition
Soit (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ K
n . On appelle déterminant de Vandermonde, et on note
V(x 1 ,. . . ,x n ) l'élément de K défini par :
V(x 1 ,. . . ,x n ) =
1 x 1 x
2
1
. . . x
n−1
1
. . .
. . .
. . .
1 x n x
2
n
. . . x
n−1
n
= det((x
j−1
i
) 1i, jn ).
Nous allons calculer V(x 1 ,. . . ,x n ).
Si n = 1 : V(x 1 ) = 1
Si n = 2 : V(x 1 ,x 2 ) =
1 x 1
1 x 2
= x 2 − x 1 .
Si n = 3 : V(x 1 ,x 2 ,x 3 ) =
1 x 1 x
2
1
1 x 2 x
2
2
1 x 3 x
2
3
=
1
0
0
1 x 2 − x 1 x
2
2 − x 1 x 2
1 x 3 − x 1 x
2
3 − x 1 x 3
C 2
C 2 − x 1 C 1 , C 3
C 3 − x 1 C 2
= (x 2 − x 1 )(x 3 − x 1 )
1 x 2
1 x 3
= (x 2 − x 1 )(x 3 − x 1 )(x 3 − x 2 )
Pour tout n de N tel que n 3 :
V(x 1 ,. . . ,x n ) =
1 x 1 x
2
1
. . . x
n−1
1
x 2 x
2
2
. . . x
n−1
2
. . .
. . .
. . .
1 x n x
2
n
. . . x
n−1
n
=
1
0
0
. . .
0
x 2 − x 1
x
2
2 − x 1 x 2
. . .
x
n−1
2
− x 1 x
n−2
2
. . .
. . .
. . .
1
x n − x 1
x
2
n − x 1 x n
. . .
x
n−1
n
− x 1 x
n−2
n
C 2
C 2 − x 1 C 1 , C 3
C 3 − x 1 C 2 , . . . C n
C n − x 1 C n−1
=
1
0
0
. . .
0
x 2 − x 1 (x 2 − x 1 )x 2 . . . (x 2 − x 1 )x
n−2
2
. . .
. . .
. . .
1 x n − x 1 (x n − x 1 )x n . . . (x n − x 1 )x
n−2
n
= (x 2 − x 1 ) . . . (x n − x 1 )
1 x 2 . . . x
n−2
2
. . .
. . .
1 x n . . . x
n−2
n
,
en développant par rapport à la 1 ère ligne, puis en factorisant dans chaque ligne.
On obtient ainsi : V(x 1 ,. . . ,x n ) =
ni>1
(x i − x 1 )
V(x 2 ,. . . ,x n ).
On conclut, par récurrence :
Nous allons exprimer V (x 1 ,. . . ,x n )
en fonction de V (x 2 ,. . . ,x n ).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Développement par rapport à la
première ligne et mise en facteur de
x 2 − x 1 ,. . . ,x n − x n−1 dans les
lignes.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
−→
−→
−→
−→
−→